Частотный анализ типовых звеньев

Цель работы: освоение методов анализа линейных систем с помощью программы Vissim; изучение частотных характеристик типовых линейных звеньев.

Задание к работе: 1. Записать выражения для W(jw), , , , с учетом коэффициентов вашего варианта для каждого из трех типовых динамических звеньев.

2. Построить графики АЧХ, ЛАЧХ, ФЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ (годограф Найквиста) для каждого их трех типовых динамических звеньев. Изучить влияние параметров звена на общий вид графиков. Указать на графиках и записать координаты точек сопряжения и среза. На графике АФЧХ указать направление обхода.

3. Записать передаточную функцию для заданного дифференциального уравнения. Построить для нее ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ.

4. Сделать вывод о проделанной работе.

Вводная часть:

Переход от передаточной функции W(s) к комплексному коэффициенту передачи W(jw)

где действительная часть комплексного числа Re(W(jw));

мнимая часть комплексного числа Im(W(jw)).

Частотные характеристики любого звена или системы:

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ:

ЛФЧХ:

j(w) = arg(W (j w)), [рад];

АФЧХ (годограф Найквиста):

Это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора частотной передаточной функции, при изменении частоты от -∞ до +∞. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка.

Пример выполнения работы:

1. Апериодическое звено 1-го порядка.

1.1. Записать комплексный коэффициент передачи (ККП) апериодического звена

, где k=2; T=0.2 c.

1.2. Записать выражение для АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ.

АЧХ:

ФЧХ:

ЛАЧХ:

1.3. На рабочем поле собрать схему, состоящую из генератора ступенчатого сигнала, апериодического звена и осциллографа, получить график переходного процесса.

1.4. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена.

Для этого необходимо выделить звено или систему звеньев, для которых строятся частотные характеристики, а затем выбрать пункт меню Analyze – Frequency Response. Полученные окошки необходимо растянуть и расположить одно под другим. Далее щелкнув два раза по каждому окошку на вкладке свойства задать координатную сетку, подписать название диаграмм, координатных осей, единиц измерения и диапазон изменения величин.

На полученных характеристиках дорисовать асимптотические графики и полученный результат вставить в отчет.

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена изображен на картинке.

1.5. По графику определить частоту сопряжения (точки излома или перегиба), частоту среза (пересечение ЛАЧХ с осью 0 дБ) и коэффициент усиления. Убедиться, что они соответствуют заданным параметрам.

1.6. Изменить значение сначала коэффициента усиления, а потом постоянной времени и посмотреть, как это отразиться на частотных характеристиках.

1.7. Все полученные графики вставить в отчет и под каждым сделать соответствующие выводы.

ω_ср=8 рад/с

ω_с=5 рад/с (ω_c=1/T=1/0.2=5)

k=10^6/20=1.99≈2

1.8. Построить амплитудно-фазовую частотную характеристику АФЧХ (или годограф Найквиста) для апериодического звена 1-го порядка.

Для чего необходимо выделить звено и выбрать пункт меню Analyze – Nyquist Response.

На графике указать направление обхода контура, т.е. направление движения при изменение частоты от 0 до +∞.

2. Проделать тот же анализ для двух других звеньев.

3. Самостоятельно найти выражение для передаточной функции заданного дифференциального уравнения.

4. Построить ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ для полученной передаточной функции.

5. Оформить отчет и сделать вывод о проделанной работе.

Общий вид дифференциального уравнения:

№ вар. а₁ а₂ а₃ а₄ а₅ а₆ b₁ b₂ b₃ b₄ b₅

- -6 -2 - - -3

- -5 - - -4 -

-1 - -8 -9

- - -15 - - -4

- -4 - - -3 -5

- - -9 - - -6

-4 - -3 -3

- - -6 - -

- - -8 -2 - -5

-4 -3

- -4 -3 - - -5 -4

- - -2 - -4 -

- - - -15

- - - -

-2 - - -

- - -4 - -

-12 - - - - -25

- - -2 - -

- - -9 - -5 -

- - -6 - -4

- - - -

- - -5 - -

- - -1 -

- - -6 - - -4

- - -5 -2 -1 - -

- -1 -1 - -

- -7 - - -

- - -1 -5 - -

- - -

- - - -

-5 - -3 - -

- - - -

- -8 - - - -7

- - - -

Контрольные вопросы:

Частотная передаточная функция (ПФ), частотные характеристики.

Методика построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ для позиционные звеньев.

Методика построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ для интегрирующих звеньев.

Методика построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ для дифференцирующих звеньев.

Что называется частотой сопряжения.

Что называется частотой среза.

Определение годографа Найквиста.

Методика построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ для произвольной линейной системы.

Лабораторная работа 3

Критерии устойчивости САУ

Цель работы: изучение математических методов оценки устойчивости линейных систем при помощи программы Scilab.

Задания к работе:

1. Получить переходный процесс и проверить устойчивость разомкнутой системы с помощью критерия Гурвица.

2. Найти полюса и нули передаточной функции разомкнутой системы и представить их графически.

3. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова (и следствия из него).

4. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

5. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости

Пример выполнения

1. Задана передаточная функция для произвольной системы.

Получим переходный процесс для данной системы. Для этого введем значение передаточной функции заданной системы.

W=poly([2 1],'s','c')/poly([3 5 4 3],'s','c')

W =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

Зададим тип объекта как линейной непрерывной системы.

S=syslin('c',W)

S =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

Построим график переходного процесса и зададим названия этого графика и осей, добавим координатную сетку.

plot(csim("step",0:0.1:20,S))

xgrid()

xtitle('Transition Function','Time,c','Magnitude')

Характеристическое уравнение:

Составим определитель Гурвица:

Проверка устойчивости:

С₀ = 3 > 0

Δ₁= С₁ = 4 > 0

det([4 3;3 5])

ans =

11.

Δ₂ = 11 > 0

det([4 3 0;3 5 0;0 4 3])

ans =

33.

или

Δ₃ = С₃Δ₂ = 3 * 11 = 33 > 0

Следовательно, по критерию Гурвица разомкнутая система устойчива.

2. Найдем нули и полюса передаточной функции разомкнутой системы и изобразим их графически.

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы:

roots(poly([3,5,4,3],'s','c'))

ans =

! - 0.8054824!

! - 0.2639255 + 1.0825135i!

! - 0.2639255 - 1.0825135i!

-->plzr(S)

3. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

poly([3,5,4,3],'s','c')+poly([2,1],'s','c')

ans =

2 3

5 + 6s + 4s + 3s

deff('u=re(w)','u=5-4*w^2')

deff('v=im(w)','v=(6*w)-3*w^3')

x=re(0:0.1:100);

y=im(0:0.1:100);

plot(x,y)

xgrid

plot(x(1:20),y(1:20))

xgrid

По критерию Михайлова замкнутая системы устойчива.

roots(poly([5,0,-4],'w','c'))

ans =

! - 1.118034!

! 1.118034!

roots(poly([0,6,0,-3],'w','c'))

ans =

! 0!

! - 1.4142136!

! 1.4142136!

plot2d(roots(poly([5,0,-4],'w','c')),[0,0],style=-1)

plot2d(roots(poly([0,6,0,-3],'w','c')),[0,0,0],style=-3)

Корни действительной и мнимой частей характеристического полинома перемежаются, значит согласно следствию из критерия Михайлова замкнутая система устойчива.

4. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

nyquist(S);

Годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатой (-1,0), значит замкнутая система устойчива.

5. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости. И определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

-->bode(S,0.1,1)

[gm,fr]=g_margin(S)

fr = //Частота пересечения ЛАЧХ с осью -180°

0.2977516

gm = //Запас устойчивости по амплитуде

14.807254

[pm,fr2]=p_margin(S)

fr2 = //Частоты среза

! 0.1591549!

! 0.1648781!

pm = //Запас устойчивости по фазе

! - 90.!

! - 97.645873!

Варианты домашних заданий:

№ варианта	а₀	а₁	а₂	b₀	b₁	b₂	b₃
	-		-3	-
			-			-
		-1			-	-2
	-		-1
		-			-1	-
	-			-
	-		-9	-			-5
		-7	-		-
	-			-		-6
			-			-
		-8			-
	-		-3
		-				-
	-			-
	-			-
	-		-	-
	-		-6	-
			-			-	-3
			-2		-
	-		-7

Контрольные вопросы:

1. Понятие устойчивости для линейных САР.

2. Условия устойчивости, типы границы устойчивости.

3. Необходимое условие устойчивости САР, достаточное для систем 1-ого и 2-ого порядков.

4. Критерий устойчивости Гурвица.

5. Критерий устойчивости Михайлова. Свойства, примеры годографов Михайлова.

6. Критерий устойчивости Найквиста. Свойства, примеры годографов Найквиста.

7. Определение устойчивости по ЛАЧХ & ЛФЧХ. Методика построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ линейных систем.

8. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Лабораторная работа 4

Анализ и параметрическая оптимизация системы автоматического регулирования частоты вращения вала двигателя постоянного тока
(САР ЧВ ДПТ).

Цель работы: исследование и оптимизация системы автоматического регулирования частоты вращения вала двигателя постоянного тока (САР ЧВ ДПТ).

Исходные данные:

Дана функциональная схема САР ЧВ ДПТ.

У – усилитель; Г – генератор постоянного тока; ДПТ – двигатель постоянного тока; ТГ – тахогенератор; М_c – момент сопротивления на валу двигателя; n – частота вращения вала двигателя.

Параметры элементов

У (усилитель) - усилительное, пропорциональное звено:

k_у = 10 + N/2;
W_у(p) = k_у;

Г (генератор) – апериодическое звено:

k_г = 0.1(13+0.05N);
T_г= 0.01·(8 + N/2), сек.

Д – двигатель постоянного тока. Модель двигателя по управлению – апериодическое звено второго порядка:

k_ду = 0.1·(11 + N/2) [об/(сек·В)];
T_я = 0.01·(6+0.1 N) сек;
T_м = 0.1(5 + 0.2 N) сек.

ТГ – пропорциональное звено:

k_г = 0.1(2 + 0.1 N) [В· сек / об];

W_тг(p) = k_тг

Задание к работе: собрать структурную схему САР ЧВ ДПТ, получить ее временные и частотные характеристики, оценить устойчивость системы по критерию Найквиста, оценить качество регулирования и осуществить предварительную коррекцию САР.

Порядок выполнения:

1. Рассчитать параметры элементов для своего варианта, собрать структурную схему и получить график переходного процесса.

2. Построить логарифмические частотные характеристики замкнутой САР. И оценить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

3. Выполнить структурно-параметрическую оптимизацию. В данном простейшем случае подразумевает введение ПИ-регулятора, что изменяет структуру САР, и подбор его наилучших параметров.

Задача состоит в том, чтобы улучшить переходную характеристику САР, снизить ее колебательность, и уменьшить ошибки установившегося режима.

Ниже предлагается простой приближенный способ определения настроечных параметров ПИ-регулятора с использованием ЛАЧХ и ЛФЧХ. Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид:

где: k_p – коэффициент усиления ПИ-регулятора;

T_p – постоянная времени ПИ-регулятора.

Для определения постоянной времени регулятора следует взять ЛАЧХ, для которой выполнены требования к запасам устойчивости по фазе и амплитуде, и провести к ней касательные с наклонами 0 дБ/дек и -20 дБ/дек:

Точка сопряжения линий аппроксимации, касательных, проведенных к ЛАЧХ с наклоном в 0 дБ/дек и -20 дБ/дек, находится на частоте 1/Т_р = 1.8 рад/сек. Поэтому Т_р = 0.555 сек.

Хорошим начальным приближением для коэффициента усиления k_pПИ-регулятора является значение 0.5, которое можно затем уточнить методом проб.

Схема примет вид:

Переходная характеристика хорошего вида, можно попробовать несколько повысить усиление ПИ-регулятора для появления перерегулирования, меньшего 5%. Это и будет оптимальной схемой.

Как видно, время регулирования составляет 0.5 сек, перерегулирование не достигает 5%, качество регулирования в переходном режиме хорошее. Установившееся значение переходной функции равно 5.0 об/сек, что говорит о нулевой ошибке регулирования в установившемся режиме при отработке постоянного задания.

В завершение посмотрим, как выглядят ЛАЧХ и ЛФЧХ оптимизированной САР.

Запасы устойчивости по амплитуде (15 дБ) и фазе (70⁰) хороши. ЛАЧХ на нижних частотах имеет наклон -20 дБ/дек, что определяется интегратором, входящим в контур. По той же причине ЛФЧХ на нижних частотах проходит вблизи -90⁰.

Итак, выполнение лабораторной работы завершено.

4. Оформить отчет и сделать вывод о проделанной работе. Для оценки качества настройки системы, исходные и конечные качественные показатели представить в виде сравнительной таблицы:

параметр	исходный	конечный
σ, %
t_у, с	0,4	0,5
t_п, с	1,7	1,8
ξ
k_ус	3,7	4,5
ΔL, дБ
Δφ, град

Контрольные вопросы:

Классификация систем автоматического управления. Примеры САУ.
Принципы автоматического регулирования.
Программы и законы регулирования.
Основные подходы к оценке качества систем и общие понятия о соответствующих критериях.
Постановка задачи синтеза систем, обзор используемых методов.
Параметрическая и структурная оптимизация.
ПИД-регуляторы, назначение, законы регулирования, область применения.

Содержание

Введение.. 4

1. Классификация систем автоматического регулирования 5

2. Основные понятия.. 6

3. Типовые динамические звенья.. 10

4. Соединение звеньев. 17

5. Преобразование структурных схем... 17

6. Частотные характеристики.. 19

7. Принципы автоматического регулирования.. 26

7.1 Принцип управления по внешнему возмущению... 26

7.2. Принцип управления по отклонению... 27

7.3. Комбинированное управление. 28

8. Анализ устойчивости САР. 28

8.1. Корневые критерии устойчивости.. 30

8.2. Алгебраические критерии. 32

8.2.1 Критерий устойчивости Гурвица. 32

8.2.2 Критерий Раусса. 34

8.3. Частотные критерии.. 34

8.3.1 Критерий Михайлова. 34

8.3.2 Критерий устойчивости Найквиста. 37

8.4. Использование ЛАЧХ. 39

9. Качество процессов автоматического управления. 41

10. Синтез САР. Регуляторы. 45

11. Краткие сведения о программном комплексе VisSim. 48

11.1. Диаграмма VisSim'а - виртуальная модель. 49

11.2. Блоки, имеющие только выход: генераторы.. 50

11.3. Блоки, имеющие вход и выход: преобразователи. 51

11.4. Блоки, имеющие только вход: индикаторы. 52

11.5. Блоки без входов и выходов: надписи и комментарии. 52

11.6. Запуск модели и подбор параметров моделирования. 54

11.7. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ. 56

12. Описание лабораторных работ. 59

12.1. Лабораторная работа 1. 59

12.2. Лабораторная работа 2. 65

12.3. Лабораторная работа 3. 72

12.4. Лабораторная работа 4. 82