Пример расчета балки-стенки методом коллокаций

Проведем расчет балки-стенки высотой и шириной . Поверхностная нагрузка по граням балки-стенки (рис.1) меняется по линейному закону. Примем, например:

(10)

Таким образом, для поверхностной нагрузки имеем:

(11)

Решение будем искать в виде:

(12)

В этом случае условие совместности (5) удовлетворяется автоматически (тождественно).

Необходимо определить неизвестные коэффициенты .

Из уравнений равновесия (1) внутреннего элемента 1 (рис.8 и рис.4) (первая точка коллокаций) получаем:

(13)

Составим уравнение равновесия граничного элемента 2 с координатами (0,y₂):

(14)

Аналогично для граничного элемента 3 с координатами (x₃,h):

(15)

Для граничного элемента 4 с координатами (b,y₄):

(16)

Таким образом, неизвестно 9 коэффициентов . Необходимо составить 9 алгебраических уравнений. Для этого берем следующие конкретные точки коллокаций граничных элементов.

Согласно (14) для второй точки коллокаций с координатами (0,0):

(17)

По уравнениям (15) для третьей точки коллокаций с координатами (0,h):

(18)

Согласно (15) для четвертой точки коллокаций с координатами (b,h):

(19)

По выражениям (16) для пятой точки коллокаций с координатами (b,h/2):

(20)

Таким образом, из 10 уравнений одно можно убрать (на усмотрение расчетчика), поскольку решение получается приближенное.

Разрешив систему уравнений (13), (17)-(20), получаем следующие искомые константы:

(21)

Окончательно выражения для напряжений примут вид:

(22)

На рис.9, рис.10, рис.11 построены эпюры напряжений в сечениях , .

Расчет на прочность

Для бетона в случае ПНС для оценки прочности применим критерий Г.А. Гениева, который имеет вид:

(23)

Здесь – расчетные значения сопротивления бетона сжатию и растяжению соответственно; – главные напряжения.

Например, примем в расчетах марку бетона B50, для которого .

Главные напряжения , как известно, определяются по формулам:

(24)

Определим по эпюрам напряжений (рис.9 – рис.11) опасные точки в балке-стенке. Они изображены на рис.12. Проверим прочность в каждой из них.

ВЫВОД

Прочность обеспечена в точках А и В, а в точках С и D условие прочности нарушается.

Ниже в приложении 1 приведен пример численного расчета рассмотренной задачи с применением прикладного пакета MATHEMATICA 5.

Приложение 1

Пример численного расчета данного задания

с применением прикладного пакета MATHEMATICA 5

<<Graphics`FilledPlot`

"ВЫСОТА И ШИРИНА ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ-СТЕНКИ";

h=3;

b=5;

"ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ";

k11:=0.1;

k12=0.1;

k21=0;

k02=-0.1;

k20=0;

k30=0.1;

k03=-0.1;

"ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ НАГРУЗКИ НА ЛЕВОЙ,ПРАВОЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ-СТЕНКИ";

Px1[y_]:=-3*k03*y-2*k02

Py1[y_]:=2*k12*y+k11

Px3[y_]:=3*k03*y+2*k02+2*k12*b

Py3[y_]:=-2*k12*y-2*k21*b-k11

Px2[x_]:=-2*k21*x-2*k12*h-k11

Py2[x_]:=3*k30*x+2*k20+2*k21*h

"АППРОКСИМАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ С НЕИЗВЕСТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ";

A10+C01Š0

B01+C10Š0

" РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ВЫРАЖЕНИЯХ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ";

"СИСТЕМА СОСТАВЛЕНА ИЗ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ВНУТРЕННЕГО ЭЛЕМЕНТА И ИЗ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ТОЧКАХ КОЛЛОКАЦИЙ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ";

-0.2+0.2 x-0.3 y

-0.1+0. x-0.2 y

…Graphics…

"ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ В ОПАСНЫХ ТОЧКАХ";

Rb=27.5;

Rbt=1.6;

Rb*Rbt

44.

0.340225

-1.44022

"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ A";

-25.81

1.76301

-0.363015

"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ B";

40.14

1.62545

0.224554

"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ C";

50.2425

1.51401

0.785995

"ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ В ТОЧКЕ D";

61.29

Методические указания

для выполнения расчетно-графической работы

«Решение плоской задачи теории упругости методом коллокаций»

Составители: Каюмов Рашит Абдулхакович

Мухамедова Инзилия Заудатовна

Редактор В.Н. Сластникова

Редакционно-издательский отдел

Казанского государственного архитектурно-строительного университета

________________________________________________________________

Подписано к печати Формат 60x84/16

Бумага офсетная №1 Усл. печ.л. 1,1

Заказ № Печать ризографическая Уч.-изд.л. 1,1

________________________________________________________________

Отпечатано в полиграфическом секторе Издательства КГАСУ

420043, г. Казань, ул. Зеленая, д.1.