Основные положения теории упругости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

 

Кафедра сопротивления материалов и основ теории упругости

 

 

Методические указания

для выполнения расчетно-графической работы

 

РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИЙ

 

Казань

УДК 539.3

ББК 22.251

К12

 

К12 Решение плоской задачи теории упругости методом коллокаций: Методические указания для выполнения расчетно-графической работы / Сост. Р.А. Каюмов, И.З. Мухамедова. – Казань: Изд-во КГАСУ, 2013.–17с.

 

 

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

 

 

В методических указаниях изложены основные понятия и формулы плоской задачи теории упругости. Предложен метод коллокаций для расчета балки-стенки. Приведено решение типовой задачи численно на ЭВМ.

Табл. 1, ил. 12.

 

Рецензент

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Сопротивления материалов и основ теории упругости

А.У. Богданович

УДК 539.3

ББК 22.251

© Казанский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2013

 

© Каюмов Р.А., Мухамедова И.З.,

Постановка задачи расчетно-графической работы

 

Балка-стенка нагружена по граням поверхностными нагрузками, , как показано на рис.1. Согласно шифру, выданному каждому студенту преподавателем, для заданной расчетной схемы с исходными данными из Таблицы требуется найти из уравнений равновесия поле напряжений , нарисовать их эпюры в сечениях , , и проверить прочность конструкции.

 

Таблица

№	А	Б	В	Г	А	Б	В	Г
, м	, м	k 03, МН/м3	k 02, МН/м2	k 12, МН/м3	k 30, МН/м3	k 20, МН/м2	k 21, МН/м3	k 11, МН/м2
			-0.1	-0.3		0.2	0.5		0.2
				0.1	0.2	0.3		0.4
				-0.2	0.1		0.2	0.1	-0.1
			0.5	0.4	0.3		0.2	0.1
			0.1			0.2	0.1	0.1	0.2
			0.3	0.3	0.2	0.2			0.1
				0.1	-0.3	-0.1		-0.1
			0.	0.2	0.	0.3	0.2	0.2	0.1
			0.4	0.3	0.2	0.1	-0.1	0.

Основные положения теории упругости

 

В теории упругости из конструкции сечениями выделяется бесконечно-малый элемент (рис.2). На него со всех сторон воздействуют соседние элементы распределенными по поверхности напряжениями σ_х, σ_у, σ_z,…. Они определяются из системы уравнений, которые в общем случае представляют собой совокупность уравнений равновесия, закона Гука, закона Дюгамеля-Неймана, кинематических соотношений Коши (или условия совместности деформаций). Эти уравнения составляются для всех малых элементов и являются объектом изучения теории упругости.

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Ниже приводятся соотношения для плоского напряженного состояния (ПНС), которое возникает в тонких плитах, балках-стенках, оболочках. Здесь принимают: (рис.3).

Дифференциальные уравнения равновесия внутреннего бесконечно-малого элемента 1 (рис.2 и рис.4) имеют вид:

 

,

(1)

 

где – проекции внешней объемной силы на оси координат, а также в силу закона парности касательных напряжений.

 

Алгебраические уравнения равновесия граничного элемента 2 (рис.2 и рис.5) с учетом того, что имеют вид:

 

 

Отсюда:

(2)

 

Деформации выражаются через составляющие перемещений точки с помощью соотношений Коши:

 

(3)

 

Закон Гука для ПНС записывается в следующей форме:

 

(4)

 

где , – модуль упругости, – коэффициент Пуассона.

 

Из соотношений Коши и закона Гука следует уравнение совместности деформаций:

(5)

 

где – модуль сдвига, – модуль упругости.

Метод коллокаций