Частинні похідні 
і 
функції z=f(х;y) є деякими функціями змінних х та y і, в свою чергу, можуть мати частинні похідні і по х, і по y, які називаються частинними похідними другого порядку від функції z=f(х;y). Позначаються і визначаються похідні другого порядку так:
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Теорема 1. Якщо функція z=f(х;y) і її частинні похідні , , 
, 
неперервні у точці М(х;y) і в деякому околі цієї точки, то у цій точці
= 
(5.23)
Частинні похідні другого порядку знову можна диференціювати по х та по y. При цьому отримаємо частинні похідні третього порядку, яких для функції двох змінних z=f(х;y) буде вісім:
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
(5.31)
Означення 19. Частинною похідною n-го порядку функції z=f(х;y) називається частинна похідна першого порядку від частинної похідної (n-1)-го порядку.
Приклад 9. Для функції 
довести. що 
.
Знайдемо спочатку частинні похідні першого та другого порядків заданої функції:
Тепер розглянемо вираз та підставимо знайдені похідні:
,
що і треба було довести.
Приклад 10. Знайти частинні похідні другого порядку функції 
Знайдемо частинні похідні першого порядку:
А тепер знайдемо частинні похідні другого порядку:
Таким чином
.
Завдання 7
Знайти другі похідні:
| 1. | а)  ;
| б)  ;
|
| 2. | а)  ;
| б)  ;
|
| 3. | а)  ;
| б)  ;
|
| 4. | а) ;
| б)  ;
|
| 5. | а)  ;
| б)  ;
|
| 6. | а)  ;
| б)  ;
|
| 7. | а)  ;
| б)  ;
|
| 8. | а)  ;
| б)  ;
|
| 9. | а)  ;
| б)  ;
|
| 10. | а)  ;
| б)  ;
|
| 11. | а)  ;
| б)  ;
|
| 12. | а)  ;
| б)  ;
|
| 13. | а)  ;
| б)  ;
|
| 14. | а)  ;
| б)  ;
|
| 15. | а)  ;
| б)  ;
|
| 16. | а)  ;
| б)  ;
|
| 17. | а)  ;
| б)  ;
|
| 18. | а)  ;
| б)  ;
|
| 19. | а)  ;
| б)  ;
|
| 20. | а)  ;
| б)  ;
|
| 21. | а)  ;
| б)  ;
|
| 22. | а)  ;
| б)  ;
|
| 23. | а)  ;
| б)  ;
|
| 24. | а)  ;
| б)  ;
|
| 25. | а)  ;
| б)  ;
|
| 26. | а)  ;
| б)  ;
|
| 27. | а)  ;
| б)  ;
|
| 28. | а)  ;
| б) ;
|
| 29. | а)  ;
| б)  ;
|
| 30. | а)  ;
| б)  .
|
6. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ z=f(х;y)
Означення 20. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального максимуму функції z=f(х;y) якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (6.32)
Означення 21. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального мінімуму функції z=f(х;y), якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (6.33)
Означення 22. Локальні мінімуми і максимуми функції називаються її локальними екстремумами. Точка, в якій досягається локальний екстремум функції, називається точкою локального екстремуму.
Приклад 11. Функція 
досягає у точці M0(2;3) локального мінімуму. Дійсно, 
, крім того для всіх 
і 
маємо 
і 
, а
, тобто 
для всіх і . Отже, 
.
Теорема 2 (необхідні умови локального екстремуму).
Якщо диференційована функція z=f(х;y), має в точці M0(x0;y0) локальний екстремум, то виконуються рівності
. (6.34)
Означення 23. Точки. в яких виконуються рівності (6.34), або в яких і не існують, називаються критичними або стаціонарними точками для функції z=f(х;y).
Теорема 3 (достатні умови локального екстремуму).
Нехай у точці M0(x0;y0) і деякому її околі функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні до третього порядку включно; нехай, крім того, 
. Позначимо 
і 
. Тоді:
функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального максимуму, якщо 
;
функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального мінімуму, якщо 
;
функція z=f(х;y) не має в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо 
;
функція z=f(х;y) може мати і може не мати в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ∆=0 (в цьому випадку потрібно провести додаткові дослідження).
Приклад 12. Дослідити на екстремум функцію 
.
Спочатку знайдемо критичні точки, для чого використаємо необхідні умови (6.34) локального екстремуму.
Так як 
, то маємо систему рівнянь
розв’язком якої є 
Отже, точка 
- критична точка.
Тепер перевіримо для цієї точки достатні умови локального екстремуму.
Маємо 
і 
, а отже, в точці задана функція має локальний мінімум і 
.
Приклад 13. Дослідити на екстремум функцію 
Знайдемо критичні точки, використовуючи необхідні умови локального екстремуму.
.
і, отже, маємо 2 критичні точки М1(0;0) і М2(1;1).
Знайдемо частинні похідні другого порядку 
.
умов локального екстремуму.
і згідно з теоремою 3 у точці М1(0;0) задана функція локального екстремуму не має.
Тепер розглянемо, чи виконуються достатні умови локального екстремуму у точці М2(1;1).
.
Згідно з теоремою 3 у точці М2(1;1) задана функція досягає локального мінімуму і 
.
Приклад 14. Дослідити на екстремум функцію 
.
Згідно з теоремою 2 необхідні умови існування локального екстремуму виглядять так:
.
Розв’язком цієї системи рівнянь є 
Отже, критична точка М0(0;0).
Знайдемо другі частинні похідні:
Тоді 
. Згідно з теоремою 3 потрібні додаткові дослідження. Проведемо їх:
а для всіх 
; отже
, тобто 
для всіх . Згідно з означенням 20 у точці М0(0;0) задана функція досягає локального максимуму і 
.
Завдання 8
Знайти екстремуми функції
| 1. | 
|
| 2. | 
|
| 3. | 
|
| 4. | 
|
| 5. | 
|
| 6. | 
|
| 7. | 
|
| 8. | 
|
| 9. | 
|
| 10. | 
|
| 11. | 
|
| 12. | 
|
| 13. | 
|
| 14. | 
|
| 15. | 
|
| 16. | 
|
| 17. | 
|
| 18. | 
|
| 19. | 
|
| 20. | 
|
| 21. | 
|
| 22. | 
|
| 23. | 
|
| 24. | 
|
| 25. | 
|
| 26. | 
|
| 27. | 
|
| 28. | 
|
| 29. | 
|
| 30. | 
|
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Вища математика: Підручник: У 2 кн.. – Кн. 1. Основні розділи / Г.Й.Призва, В.В.Плахотник, Л.Д.Гординський та ін.; За ред.. Г.Л.Кулініча. – –. – К.: Либідь, 2003.-400 с.
2. Вища математика: Підручник: У 2 кн.. – Кн. 2. Спеціальні розділи / Г.Л.Кулініч, Є.Ю.Таран, В.М.Бурим та ін.; За ред. Г.Л.Кулініча. –К.: Либідь, 2003. – 368 с.
3. Вища математика: Зб. задач: У 2 ч. Ч. 1: / Х.І. Гаврильченко, С.П. Полушкін, П.С. Кропив’янський та ін.; За заг. ред. д-ра техн. наук, проф. П.П. Овчинникова. – 2-ге вид., стереотип. – К.: Техніка, 2004. – 279 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1: Учебное пособие для втузов. – 13-е узд. – М.: Наука, 1985. – 551 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2: Учебное пособие для втузов. – 13-е узд. – М.: Наука, 1985. – 560 с.
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1978. – 359 с.
7. Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики. – М.: Высшая школа, 1973. – 472 с.
ЗМІСТ
| 1. Означення функції багатьох змінних | |
| Завдання 1 | |
| 2. Частинні похідні | |
| Завдання 2 | |
| Завдання 3 | |
| 3. Повний диференціал | |
| Завдання 4 | |
| Завдання 5 | |
| 4. Дотична та нормаль до поверхні | |
| Завдання 6 | |
| 5. Частинні похідні n-го порядку | |
| Завдання 7 | |
| 6. Екстремум функції z=f(х;y) | |
| Завдання 8 | |
| Список літератури | |
| Зміст |
