Спряженим з диференціальним оператором
(5.93)
називають диференціальний оператор наступного вигляду
. (5.94)
Властивість спряженості двох операторів є взаємною, тобто спряженим до диференціального оператора 
буде диференціальний оператор 
.
Якщо 
, то оператор називають самоспряженим.
Характерна властивість спряжених диференціальних операторів: для будь-яких двічі неперервно диференційованих функцій 
і 
виконується співвідношення
. (5.95)
Дійсно
.
Нехай 
і 
– дві множини функцій, які задовольняють деяким однорідним крайовим умовам А і В відповідно на [ a,b ]. Тоді, якщо для довільних функцій з цих множин виконується співвідношення
, (5.96)
то крайові умови А та В називають спряженими крайовими умовами, які відповідають диференціальним операторам і .
Крайову задачу для диференціального рівняння 
при крайових умовах А і крайову задачу 
при крайових умовах В (
– задані функції) називають спряженими крайовими задачами.
Якщо при цьому диференціальний оператор самоспряжений і крайові умови А ''самоспряжені'', тобто співпадають з крайовими умовами В, то крайова задача для при крайових умовах А називається самоспряженою крайовою задачею.
5.5.4.Зведення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку до самоспряженого вигляду
Означення 5.6. Лінійне однорідне диференціальне рівняння в якому коефіцієнт при 
дорівнює похідній від коефіцієнта при 
, тобто диференціальне рівняння (5.81) має вигляд
(5.97)
називають самоспряженим диференціальним рівнянням другого порядку.
Твердження 5.1. Довільне лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку
, (5.98)
коефіцієнти якого неперервні на 
, а 
і є неперервно диференційованою функцією на , завжди можна привести до самоспряженого вигляду домноженням на деяку функцію від х.
Доведення. Домножимо (5.89) та 
:
.
Виберемо згідно умовам 
. Звідки 
, тобто
. (5.99)
Домножаючи диференціальне рівняння (5.98) на функцію (5.99), отримаємо
.
Позначивши 
, перепишемо диференціальне рівняння так
, де 
.
Твердження доведено.
5.5.5. Задача Штурма-Ліувілля
Це задача про власні значення і власні функції: на відрізку 
знайти двічі неперервно диференційовані не рівні тотожно нулю розв'язки крайової задачі
, (5.100)
(5.101)
і визначити відповідні їм значення параметра 
. Тут 
, 
– постійні числа, 
– неперервні на функції, причому 
, 
.
Вказані розв'язки називають власними або фундаментальними функціями, а відповідні їм числові значення називають власними значеннями або власними числами.
Властивості оператора :
а) справедливе співвідношення
. (5.102)
Дійсно
.
З іншого боку
.
Твердження доведено;
б) якщо і задовольняють умові (5.101), то
. (5.103)
Дійсно
.
Згідно крайових умов
,
,
,
.
Розглянемо дві системи: перше і третє, друге і четверте рівняння. Для першої системи 
і 
розглядаємо як ненульовий розв'язок 
. Це можливо тоді і тільки тоді, коли
.
Аналогічно можна отримати 
. Співвідношення (5.103), таким чином, буде виконуватися.
Властивості власних значень і власних функцій задачі Штурма-Ліувілля:
а) власні функції 
і 
, що відповідають різним власним значенням 
і 
, ортогональні з ваговою функцією 
, тобто
. (5.104)
Дійсно, домножаючи рівняння 
і 
відповідно на і і проінтегрувавши їх різницю, отримаємо
.
Згідно властивості б) перший доданок дорівнює нулю, так як 
, то виконується (5.104);
б) всі власні значення дійсні.
Дійсно, якби знайшлося комплексне власне значення з власною функцією 
, то спряжене з ним комплексне число 
також було б власним значенням, а функція 
була б його власною функцією. З ортогональності власних функцій та 
випливає
,
тобто 
. Це означає, що число не є власним значенням;
в) будь-якому власному значенню відповідає тільки одна лінійно незалежна власна функція.
Дійсно, припустимо, що маємо дві лінійно незалежні власні функції і , які відповідають одному власному значенню . Тоді ліва частина в (5.102) дорівнює нулю, так як 
, 
. Тому
,
тобто
. (5.105)
Ліва частина співвідношення (5.105) в точці 
дорівнює нулю, так як для функцій і виконується крайові умови. Постільки 
, то в точці 
. Це означає, що в точці вронскіан від функцій і дорівнює нулю. Тобто функції і – лінійно-залежні;
г) довільну власну функцію можна пронормувати
. (5.106)
5.5.6. Функція Гріна
Припустимо, що 
не є власним значенням задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101). Тоді крайова задача не має ненульових розв'язків. Нехай функцій і – розв'язки рівняння 
, які задовольняють відповідно крайові умови 
та 
.
Такі розв¢язки існують і їх можна отримати як розв¢язки задачі Коші, наприклад, при початкових умовах:
, 
; 
, 
.
Функції і будуть лінійно–незалежні, інакше якби 
, де с– постійна, то виконувалися б умови , 
. А це б означало, що задача (5.100),(5.101) при мала б ненульовий розв'язок. В силу (5.102)
(5.107)
і ця константа, в силу лінійної незалежності функцій і , буде відмінною від нуля.
Функцію
(5.108)
будемо називати функцією впливу або функцією Гріна крайової задачі (5.100), (5.101) при , тобто
, , , 
. (5.109)
Властивості функції Гріна:
а) функція Гріна неперервна на ;
б) на кожному з інтервалів 
, 
двічі неперервно диференційовна і задовольняє рівняння ;
в) 
, 
;
г) 
;
д) функція Гріна є симетричною функцією, тобто 
.
Властивості а), б), в), д) випливають з побудови функції Гріна у вигляді (5.108).
Доведемо властивість г):
; 
.
Тому
.
Приведемо без доведення ряд теорем, які часто використовуються при розв'язанні різних прикладних задач.
Теорема 5.5. (Про інтегральне представлення розв'язку з допомогою функції Гріна). Якщо не є власним числом задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101), тобто якщо крайова задача (5.109) має ненульовий розв'язок, то для того, щоб функція була двічі неперервно диференційовним на 
розв'язком крайової задачі
(5.110)
необхідно і достатньо, щоб
, (5.111)
де 
-функція Гріна крайової задачі (5.109).
Теорема 5.6. Якщо не є власним числом задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101), то для того, щоб функція була двічі неперервно диференційовним розв'язком цієї задачі на необхідно і достатньо, щоб вона була розв'язком інтегрального рівняння
, (5.112)
де функція – функція Гріна крайової задачі (5.109).
Теорема 5.7 (В.А. Стеклова про розклад функції в ряд). Довільна двічі неперервно диференційовна функція 
на , яка задовольняє крайовим умовам 
, розкладається на цьому відрізку по власним функціям задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101) в абсолютно і рівномірно збіжний ряд Фур'є
, (5.113)
де 
– власні функції задачі Штурма-Ліувілля (5.100), (5.101), які відповідають власним значенням 
і задовольняють умові ортогональності з ваговою функцією
, (5.114)
коефіцієнти Фур'є функції
. (5.115)
