Характеристический полином замкнутой системы, образованной соединением звеньев с обратной связью (см. рис. 2.9, в),
.
Для одноконтурных систем, образованных любым числом звеньев с передаточными функциями
,
характеристический полином записывается как сумма
| (3.6) |
полиномов знаменателя и числителя передаточной функции разомкнутой системы
.
О расположении корней полинома (3.6), полученного суммированием двух полиномов, в общем случае без предварительных вычислений ничего сказать нельзя. Необходимо либо вычислить корни 
, либо применить какой-либо критерий устойчивости. Вместе с тем следует указать на два важных случая.
Если полиномы 
и 
имеют нетривиальный общий делитель — полином 
, т.е. передаточная функция разомкнутой системы 
имеет диполи, то при замыкании системы соответствующие корни характеристического полинома не перемещаются. Действительно, из выражения
следует, что корни полинома являются и корнями полинома 
. Таким образом, необходимое условие устойчивости замкнутой системы — все корни наибольшего общего делителя
левые. Достаточное условие неустойчивости — наличие у полиномов и общего делителя с правым корнем.
Как показано в 2.4, наличие общих корней у полиномов числителя и знаменателя передаточной функции соответствует неполной системе. При замыкании такой системы неполная часть своих свойств не изменяет.
непосредственно неизмеряемым возмущениям.
3.5. Критерий Найквиста
Критерий Найквиста является необходимым и достаточным условием устойчивости систем с обратной связью.
Рассмотрим одноконтурную систему с передаточной функцией разомкнутого контура 
. Рациональная функция
называется возвратной разностью. Скажем также, что это определитель одноконтурного графа с отрицательной обратной связью.
Возвратная разность равна отношению характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем
.
Будем рассматривать 
как функцию комплексного аргумента.
Критерий Найквиста базируется на принципе аргумента [ ]. Пусть C — произвольный замкнутый контур без самопересечений на плоскости s, а — рациональная функция s, не имеющая на контуре C ни нулей, ни полюсов. Разность 
между количеством нулей и полюсов однозначной функции , заключенных внутри замкнутой кривой C, равна числу полных оборотов, которые делает вокруг начала координат вектор , в то время как точка s описывает контур C по часовой стрелке. При исследовании асимптотической устойчивости в качестве контура C выбирается мнимая ось и полуокружность бесконечного радиуса (контур Найквиста охватывает правую полуплоскость).
Нулями являются корни характеристического полинома замкнутой системы, а полюсами — корни характеристического полинома разомкнутой системы. Если 
, т.е. разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы 
необходимо и достаточно, чтобы кривая при движении s вдоль C по часовой стрелке не охватывала начала координат.
Вместо возвратной разности можно рассматривать возвратное отношение — передаточную функцию разомкнутой системы
.
При этом для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф — амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы — при движении s вдоль C по часовой стрелке не охватывал точку 
.
На рис. 3.6, а изображен случай устойчивой замкнутой системы, которая устойчива и в разомкнутом состоянии. 
Рис. 3.6. Иллюстрация критерия Найквиста
Если амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы проходит через критическую точку на частоте 
, то пара корней характеристического полинома замкнутой системы окажутся чисто мнимыми 
. Этот случай называют колебательной границей устойчивости (рис. 3.6, б).
Рациональные функции и имеют одни и те же полюсы. Если среди них имеется p правых полюсов, т.е. разомкнутая система является неустойчивой, для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика 
должна p раз охватывать точку против часовой стрелки. В силу симметричности характеристик:
можно ограничиться рассмотрением 
т.е. половины контура C на комплексной плоскости. Соответственно изменится и формулировка критерия Найквиста.
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика p /2 раз охватывала точку против часовой стрелки, где p — число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы (правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы).
Очевидно, выполнение достаточного условия устойчивости (3.9) гарантирует, что амплитудно-фазовая характеристика (см.рис.3.4) не охватывает точку . Вместе с тем ясно, что необходимое и достаточное условие Найквиста оставляет большую свободу для формирования при условии устойчивости замкнутой системы.
Пусть для примера передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
,
т. е. имеет один правый полюс. Разомкнутая система неустойчива. Для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика при изменении w от нуля до бесконечности должна 1/2 раза охватить точку против часовой стрелки. Как видно из рис.3.7, это возможно при k > 1 (замкнутая система устойчива при 
и неустойчива при 
). Для перемещения корня из правой полуплоскости в левую необходимо достаточно большое усиление контура.
Рис. 3.7. Пример применения критерия Найквиста
Передаточную функцию разомкнутой системы во многих случаях удобно представлять в следующем виде:
,
где 
— коэффициент передачи разомкнутой системы. Он равен отношению младших отличных от нуля коэффициентов полиномов числителя и знаменателя. Передаточную функцию 
назовем нормированной. В частном случае ненулевых нулей и полюсов
является коэффициентом усиления; он характеризует свойства контура по постоянному сигналу.
Рассмотрим рациональную функцию
,
числитель которой есть характеристический полином замкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы нормированная амплитудно-фазовая характеристика 
должна p /2 раз охватывать точку 
против часовой стрелки.
Такая формулировка критерия Найквиста упрощает исследование зависимости устойчивости замкнутой системы от коэффициента передачи контура. При изменении нормированная амплитудно-фазовая характеристика не изменяется, а критическая точка превращается в критический отрезок (луч), как это показано на рис.3.8. Здесь легко найти критический коэффициент усиления — он соответствует точке пересечения амплитудно-фазовой характеристики 
с критическим отрезком.
Рис. 3.8. Применение критерия Найквиста для нормированных характеристик
Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы на мнимой оси (остальные левые) — нулевой полюс в случае интегратора в составе звеньев или пару мнимых полюсов консервативного звена, то выбор контура C имеет свою специфику. Чтобы принять число корней p разомкнутой системы внутри контура C равным нулю и сохранить формулировку критерия, этот контур обходит полюсы на мнимой оси по полуокружностям бесконечно малого радиуса.
Амплитудно-фазовая характеристика при значениях, близких к полюсам на мнимой оси, а именно, при их обходе против часовой стрелки по дугам окружности малого радиуса, принимает по модулю бесконечно большое значение; аргумент амплитудно-фазовой характеристики изменяется на 
по часовой стрелке. Если 
, то в случае нулевого полюса аргумент изменяется при w = 0 на -p/2. На рис.3.9, а в качестве примера качественно изображена амплитудно-фазовая характеристика для передаточной функции:
,
а на рис.3.9, б — для
.
Рис. 3.9. Примеры амплитудно-фазовых характеристик для критических случаев
В случае систем высокого порядка амплитудно-фазовая характеристика может иметь сложный вид, затрудняющий подсчет числа охватов критической точки. Для упрощения рекомендуется считать число переходов амплитудно-фазовой характеристики через луч (-¥, -1). Переход снизу вверх считается отрицательным, а сверху вниз — положительным. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов через луч равнялась + p /2, где p — число правых полюсов передаточной функции разомкнутой системы.
Особенно удобно применение критерия Найквиста, а также выявление влияния свойств звеньев на устойчивость, если строятся логарифмические частотные характеристики:
.
Если передаточная функция разомкнутой системы имеет p правых полюсов, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале частот, где 
число переходов 
через линию -p равнялось p /2.
Положительным считается переход снизу вверх, а отрицательным — сверху вниз.
На рис.3.10, а изображены логарифмические частотные характеристики, а на рис.3.10. б — амплитудно-фазовая характеристика так называемой условно-устойчивой системы.
Рис. 3.10. Характеристики условно-устойчивой системы
Критерий Найквиста можно применить только в том случае, когда выполняется необходимое условие устойчивости — неполная часть системы устойчива (диполи передаточной функции левые).
Критерий Найквиста физичен. Хорошо видна роль амплитудных и фазовых преобразований, вносимых контуром, на устойчивость системы в целом. Изначальный смысл применения критерия Найквиста заключается не столько в констатации устойчивости, сколько в выявлении роли контура в перемещении корней характеристического полинома системы. На базе этого критерия можно судить о влиянии свойств элементов на характер свободных движений системы в целом.
Практически важное свойство критерия Найквиста заключается также в том, что по нему можно исследовать устойчивость систем с обратными связями на основе экспериментально снятых частотных характеристик звеньев, образующих контур.
