ЗАНЯТИЕ 8
ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
План:
- Каноническое уравнение окружности. Построение линии.
- Каноническое уравнение эллипса. Построение линии.
- Каноническое уравнение гиперболы. Построение линии.
- Каноническое уравнение параболы. Построение линии.
Литература
- Баврин, И.И. Высшая математика: учеб. для студ. естественно-научных спец. пед. вузов/ И.И. Баврин. - М.: Издательский центр «Академия»., 2004.– 616 с.
- Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справ. пособ. по решению задач /А. А. Гусак. – Мн.: «ТетраСистемс», 2001. – 288 с.
- Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособ. для вузов. В 2 ч. Ч. 1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Мир и Образование, 2003. – 304 с.
Теоретические положения
Уравнение окружности. (x-xо)2 + (y-y0)2 = R2.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса: x2/a2 + y2/a2 = 1.
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/a2 = ± 1.
Каноническое (простейшее) уравнение параболы:
1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.
2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.
Задания для работы в аудитории
1. По заданным уравнениям определите название соответствующей линии второго порядка: а) 9х2+25у2-225=0; 2) 4х2-9у2=144; в) 6х- у2=0; г)2 х2+у=0; д) ху=4.
2. Напишите уравнение окружности радиусом 5 см с центром в точке: а) О(0;0); б) С(-1;4).
3. Постройте окружности: а) (х+3)2+(у-2)2=16; б) (х-2)2+(у+1)2=9;
в) х2+(у-4)2=25.
4. Дана окружность (х+2)2+(у+3)2=13 и точка на ней с ординатой, равной нулю. Найдите ее абсциссу.
5. Напишите уравнение окружности, проходящей через начало координат, с центром в точке А(1;0).
6. Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси: а) a=3 и b=4; б) a=4 и b=3. Постройте эти эллипсы.
7. Дано уравнение эллипса 
. Лежат ли на нем точки А(0;2), В(3;0), С(1;2)?
8. Дано уравнение эллипса 
. Найдите его полуоси и расстояние между фокусами. Постройте этот эллипс.
9. Дано уравнение эллипса 
. Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет.
10. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А1(8;0) и А2(-8;0), а фокусы – в точках F1(5;0) и F2(-5;0).
11. Найдите эксцентриситет эллипса 4х2+9у2=180.
12. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) a=6 и b=2; б) a=8 и c=10; в) с=13 и b=5. Постройте эти гиперболы.
13. Дано уравнение гиперболы 
. Найдите ее оси и расстояние между фокусами.
14. Дано уравнение гиперболы 
. Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет. Постройте эту гиперболу.
15. Напишите уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках F1(-4;0) и F2(4;0), а длина действительной оси равна 6.
16. Найдите эксцентриситет гиперболы 24х2-25у2=600.
17. Напишите уравнения двух парабол с вершиной в начале координат, зная, что координаты их фокусов равны: а) F1(3;0); б) F2(-5;0). Постройте эти параболы.
18. Дано уравнение параболы у2=2х. Лежат ли на ней точки А(2;-2), В(1;2), С(0;-1)?
19. Определите координаты фокусов и напишите уравнения директрис для следующих парабол: а) у2=16х; б) х2=-10 у.
20. Напишите уравнение директрисы и найдите координаты фокуса параболы у2=4х.
21. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А(4;-2).
22. По заданным уравнениям определите название соответствующей линии второго порядка: а) у=х2+4х+5; б) 9х2 + 4у2 - 54х - 32у + 109 =0; в) 4х2 - 9у2 – 8х – 36у – 68 = 0; г) у= х2 – 6х + 2; д) 
; ж) 
.
Дополнительные задачи
1. Составьте уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и проходящей через точку А(0;-8).
2. Напишите уравнение окружности, у которой центр расположен в точке С(4;2) и которая проходит через точку А(3;-2).
3. Дано уравнение эллипса 
и точка на нем с абсциссой, равной 3. Найдите ее ординату.
4. Найдите площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х2+5у2=20, а две другие совпадают с концами его малой оси.
5. Напишите уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F1(3;0) и F2(-3;0), а длина большей оси равна 12.
6. Напишите каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку (2;1), асимптоты которой у=±(3/4)х.
7. Напишите каноническое уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку (3;-1).
8. Напишите уравнения парабол с вершиной в начале координат, для которых директрисами служат прямые А) х=-2; б) х=3.
Домашнее задание № 8
1. Дана окружность (х-3)2+(у+5)2=16. Лежат ли на ней точки А(3;-1), В(3;-9), С(0;3)? Постройте ее в декартовой прямоугольной системе координат.
2. Напишите каноническое уравнение эллипса, если даны его полуоси: а) a=5 и b=2; б) a=2 и b=5. Постройте эти эллипсы.
3. Дано уравнение эллипса . Лежат ли на нем точки А(0;2), В(3;0), С(1;2)?
4. Дано уравнение эллипса 
. Найдите его полуоси и расстояние между фокусами. Постройте этот эллипс.
5. Дано уравнение эллипса 16х2+25у2=400. Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет.
6. Напишите уравнение эллипса, если фокусы его находятся в точках F1(4;0) и F2(-4;0), а длина большей оси равна 14.
7. Найдите эксцентриситет эллипса 9х2+16у2=144.
8. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если даны: а) a=7 и b=2; б) a=4 и c=5; в) с=15 и b=9.
9. Дано уравнение гиперболы 9х2-16у2=144. Найдите ее оси и расстояние между фокусами. Постройте эту гиперболу.
10. Дано уравнение гиперболы 
. Найдите длины осей, координаты вершин и фокусов, вычислите эксцентриситет. Постройте эту гиперболу.
11. Дано уравнение гиперболы 
. Лежат ли на ней точки А(8;6 
), В(6;3 
), С(3;2 
)?
12. Напишите уравнения двух парабол с вершиной в начале координат, зная, что координаты их фокусов равны: а) F1(4;0); б) F2(-2;0). Постройте эти параболы.
13. Дано уравнение параболы у2=2х. Лежат ли на ней точки А(2;-2), В(1;2), С(0;-1)?
14. Определите координаты фокусов для следующих парабол: а) у2=10х; б) х2=-12у. Постройте эти параболы.
15. Дано уравнение параболы х2=12у. Напишите уравнение директрисы.
