Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка

ЗАНЯТИЕ 5. Дифференциальные уравнения высших порядков.

План:

1. Дифференциальное уравнение n-го порядка, зависящее только от переменной.
2. Дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащее явно у и младших производных до порядка k-1 включительно.
3. Дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащее явно независимой переменной.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f (x) и её производных (или дифференциалов): .

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Опр. Частным решением уравнения на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение , что:
1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C ₁, C ₂, …, C_n из некоторой области n -мерного пространства) является частным решением уравнения;
2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n.
Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n -го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: .

Постановка задачи Коши для уравнения n -го порядка: требуется найти решение уравнения

;

удовлетворяющее начальным условиям

где y ₀, y ₁, y ₂, …, y_{n -1} - заданные числа.

В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x ₀, y ₀,) с заданным угловым коэффициентом y ₁.

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.

1.Уравнение вида решается последовательным n -кратным интегрированием.

Пример1.

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде

y = cos x + C ₁ x ³ + C ₂ x ² + C ₃ x + C ₄.

2.Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные.

Порядок уравнения вида F (x, y ^(k), y ^{(k +1)}, y ^{(k +2)}, …, y ⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y (x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z (x) = y ^(k)(x).

Тогда z ^{(n - k)} = y ⁽ⁿ⁾(x),

и относительно z (x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k -го порядка.

После нахождения z (x) последовательным интегрированием решается уравнение

y ^(k) = z (x).

Пример2. Решить задачу Коши: . Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть z = uv, тогда , , , следовательно, . Относительно y (x) - это уравнение . Мы можем последовательно находить и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C ₁: . Теперь . Из условия при x = 1 находим C ₂: ; из условия y = 3 при x = 1 находим C ₃: .

Окончательный ответ: .

3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции: .

Аналогично,

Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k -1 -ую производную p по y.

В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p (y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p (y, C ₁) этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y (x, C ₁, C ₂) будет общим решением исходного уравнения.

Пример 3. Задача Коши .

Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , , тогда .

Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений , поэтому рассматриваем два случая:

1. ;

2. Это - уравнение с разделяющимися переменными: .

Получено уравнение , решаем его:

. Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение y = C при C ₂ = 0.

Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из .

Далее, из следует, что , т.е. C ₂ = 0.

Частное решение - , т.е. y = 2.

 

Пример 4.

Данное уравнение – уравнение 3 типа, поэтому вводим замену . Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим .

Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению . Находим : .

Ответ: решение задачи Коши