Введение.
Очень часто физические процессы можно описать уравнениями или системой уравнений, которые содержат неизвестные функции и производные неизвестных функций или их дифференциалы. Такие уравнения или системы уравнений называются дифференциальными уравнениями или системой дифференциальных уравнений (дифуравнений). Основная задача состоит в нахождении неивестных функций, входящих в уравнение или систему уравнений. Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, то дифуравнения называются обыкновенными. Если же неизвестные функции зависят от двух и более независимых переменных, то уравнение называется уравнением в частных производных.
Ограничимся рассмотрением обыкновенных дифуравнений и простейших систем обыкновенных дифуравнений.
При изучении неопределенного интеграла по производной или дифференциалу неизвестной функции находили саму функцию, т.е. решали дифуравнение 
или 
Неизвестную функцию y(x) находим интегрированием, т.е. 
.
Обратим внимание на то, что полученное решение содержит бесконечно много функций, причем это решение зависит от одной произвольной постонной с.
Рассмотрим еще несколько задач, приводящих к понятию дифуравнения:
1. Задача о радиоактивном распаде.
Имеется 
граммов радиоактивного вещества с периодам полураспада Т лет. Найти колличество нераспавшегося вещества за время t.
Решение. Через 
обозначим колличество нераспавшегося вещества в момент времени t. Колличество распавшегося вещества за время 
(т.е. за промежуток времени 
) приближенно пропорционально колличеству наличного вещества и времени распада , т.е. 
. Знак минус в правой части взят потому, что колличество вещества со временем убывает. Последнее равенство тем точнее, чем меньше . Поделим обе части равенства на и перейдем к пределу при →0. В результате получим: 
, 
, 
, 
, 
.
Получаем дифуравнение относительно неизвестной функции .
Теперь остается решить полученное дифуравнение, т.е. найти неизвестную функцию . Обе части уравнения разделим на x и проинтегрируем: 
; 
; 
; 
.
Для нахождения 
воспользуемся начальным условием: 
.
В решении положим 
: 
; 
.
Для нахождения коэффициента 
воспользуемся тем, что период полураспада данного вещества равен 
лет.
; 
; 
.
Обе части последнего равенства прологарифмируем по основанию 
:
; 
; 
; 
; 
- искомое решение.
2. Задача о механических колебаниях.
Задачи о колебаниях часто встречаются в физике, теоретической механике, при расчетах электрических цепей. С математической точки зрения многие задачи сводятся к решению следующей задачи: пусть материальная точка массы 
(для простоты, положим 
) движется прямолинейно. На точку действует восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в состояние равновесия, причем величина силы пропорциональна отклонению точки от положения равновесия. Далее, на точку действует сопротивление пропорциональное скорости движения. Кроме этого на точку действует посторонняя возмущающая сила 
.
Для составления уравнения воспользуемся вторым законом Ньютона: произведение массы тела на ускорение равно сумме сил дайствующих на тело. Обозначается через 
-расстояние точки от начального положения, получим: 
. 
, где
- коэффициент сопротивления, 
коэффициент восстановления.
Таким образом, получим дифуравнение, и поставленная задача сводится к решению дифуравнения, т.е. к нахождению неизвестной функции 
.
Основные понятия.
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию и производные неизвестной функции.
Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать следующим образом: 
, где 
-независимая переменная, 
-неизвестная функция.
Определение 2. Порядком дифференциальнрого уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Например: 
является дифференциальным уравнением 2го порядка.
Определение 3. Функция 
называется решение дифуравнения, если при подстановке функции и ее соответствующих производных в уравнение, уравнение обращается в тождество.
Пример1. Показать, что функция 
является решением уравнения 
.
Решение. В самом деле, 
Отсюда следует, что функция является решением данного уравнения.
Дифференциальные уравнения 1го порядка.
В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: 
. (1)
В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная 
.
Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его можно представить в следующем виде: 
(2)
