Дифференциальные уравнения 1го порядка

Введение.

Очень часто физические процессы можно описать уравнениями или системой уравнений, которые содержат неизвестные функции и производные неизвестных функций или их дифференциалы. Такие уравнения или системы уравнений называются дифференциальными уравнениями или системой дифференциальных уравнений (дифуравнений). Основная задача состоит в нахождении неивестных функций, входящих в уравнение или систему уравнений. Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, то дифуравнения называются обыкновенными. Если же неизвестные функции зависят от двух и более независимых переменных, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Ограничимся рассмотрением обыкновенных дифуравнений и простейших систем обыкновенных дифуравнений.

При изучении неопределенного интеграла по производной или дифференциалу неизвестной функции находили саму функцию, т.е. решали дифуравнение или

Неизвестную функцию y(x) находим интегрированием, т.е. .

Обратим внимание на то, что полученное решение содержит бесконечно много функций, причем это решение зависит от одной произвольной постонной с.

Рассмотрим еще несколько задач, приводящих к понятию дифуравнения:

1. Задача о радиоактивном распаде.

Имеется граммов радиоактивного вещества с периодам полураспада Т лет. Найти колличество нераспавшегося вещества за время t.

Решение. Через обозначим колличество нераспавшегося вещества в момент времени t. Колличество распавшегося вещества за время (т.е. за промежуток времени ) приближенно пропорционально колличеству наличного вещества и времени распада , т.е. . Знак минус в правой части взят потому, что колличество вещества со временем убывает. Последнее равенство тем точнее, чем меньше . Поделим обе части равенства на и перейдем к пределу при →0. В результате получим: , , , , .

Получаем дифуравнение относительно неизвестной функции .

Теперь остается решить полученное дифуравнение, т.е. найти неизвестную функцию . Обе части уравнения разделим на x и проинтегрируем: ; ; ; .

Для нахождения воспользуемся начальным условием: .

В решении положим : ; .

 

Для нахождения коэффициента воспользуемся тем, что период полураспада данного вещества равен лет.

; ; .
Обе части последнего равенства прологарифмируем по основанию :

; ; ; ; - искомое решение.

2. Задача о механических колебаниях.

Задачи о колебаниях часто встречаются в физике, теоретической механике, при расчетах электрических цепей. С математической точки зрения многие задачи сводятся к решению следующей задачи: пусть материальная точка массы (для простоты, положим ) движется прямолинейно. На точку действует восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в состояние равновесия, причем величина силы пропорциональна отклонению точки от положения равновесия. Далее, на точку действует сопротивление пропорциональное скорости движения. Кроме этого на точку действует посторонняя возмущающая сила .

Для составления уравнения воспользуемся вторым законом Ньютона: произведение массы тела на ускорение равно сумме сил дайствующих на тело. Обозначается через -расстояние точки от начального положения, получим: . , где

- коэффициент сопротивления, коэффициент восстановления.

Таким образом, получим дифуравнение, и поставленная задача сводится к решению дифуравнения, т.е. к нахождению неизвестной функции .

Основные понятия.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию и производные неизвестной функции.

Дифференциальное уравнение в общем виде можно записать следующим образом: , где -независимая переменная, -неизвестная функция.

Определение 2. Порядком дифференциальнрого уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Например: является дифференциальным уравнением 2го порядка.

Определение 3. Функция называется решение дифуравнения, если при подстановке функции и ее соответствующих производных в уравнение, уравнение обращается в тождество.

Пример1. Показать, что функция является решением уравнения .

Решение. В самом деле, Отсюда следует, что функция является решением данного уравнения.

 

 

Дифференциальные уравнения 1го порядка.

В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: . (1)

В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная .

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его можно представить в следующем виде: (2)