Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 8. Дифференциальное уравнение вида:
, . (4)

называется линейным уравнением.

Решение линейного уравнения можно искать в виде: , . Значения для и подставим в данное уравнение. В результате получим тождество: (5)

Так так неизвестных функций две, а условие, которому они удовлетворяют одно, то для нахождения и надо иметь еще одно условие, которое мы наложим по своему усмотрению. В левой части равенства (5) сумму первого и третьего слагаемых приравняем к 0, т.е. . Функция , т.к. в этом случае , а тождественный ноль не является решением уравнения (4) следовательно, . Последнее уравнение является дифуравнением с разделяющимися переменными, решая это уравнение, найдем функцию : ; ; ; . При нахождении функции произвольную постоянную С можно не добавлять, т.к. нам достаточно найти какую-либо функцию , а произвольную постоянную запишем при нахождении . Найденную функцию подставим в равенство (5), в результате получим еще одно дифуравнение с разделяющими переменными: ;

; Таким образом, решение линейного дифуравнения первого порядка заменой сводится к решению двух дифуравнений с разделяющимися переменными.

Пример 7. Проинтегрировать уравнение , найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку .

Решение. Обе части уравнения поделим на x, в результате получим линейное уравнение первого порядка . Решение этого уравнения будем искать в виде , . Выражение для и подставим в данное уравнение: (6)

Далее сумму первого и третьего слагаемых приравняем к 0. Т.к. , то . Последнее уравнение является дифуравнением с разделяющимися переменными:

.

Найденное значение подставим в равенство (6), в результате получим: Следовательно, общее решение данного уравнения запишется в виде: . Теперь из общего решения выделим интегральную кривую, которая проходит через точку . . с=1; Полученное значение с=1 подставим в общее решение и получим искомую интегральную кривую .

Уравнения Бернулли

Определение 9. Уравнение вида

(7)

называется уравнением Бернулли. Если , то уравнение (7) является линейным. Если , то уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными.

Если и , то мы получаем новый тип уравнения, который ранее не рассматривали.

Решение уравнения Бернулли можно искать в виде и решать это уравнение аналогично решению линейного уравнения.

Пример 8. Проинтегрировать уравнение и выделить интегральную кривую, проходящую через точку , т.е. .

Решение. Данное уравнение запишем в виде: . Это уравнение является уравнением Бернулли, .

Общее решение уравнения будем искать в виде , . Подставляя выражение для и в уравнение, мы должны получить тождество

(8)

Функцию найдем из равенства . Так как , то . Следовательно, , , , .

Найденное значение подставим в (8), в результате получим уравнение с разделяющимися переменными. ; Получили общее решение данного уравнения, из которого с помощью начального условия выделим требуемую интегральную кривую. В общее решение подставим и .

, отсюда .

Подставляя в общее решение найденное получим искомую интегральную кривую .