Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь основними методами: методом Гауса, за формулами Крамера, матричним методом

Мета роботи: навчитись розв’язувати системи лінійних рівнянь методами Крамера та Гауса, матричним методом.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки;

2. Індивідуальні завдання;

3. Обчислювальні засоби.

 

Теоретичні відомості про правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

Теорема. Якщо головний визначник складений із коефі­цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j -го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

 

Задача 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера:

a)

Теоретичні відомості про Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

 

 

Метод Гауса називають ще методом послідовного виключення невідомих. Він полягає в наступному: систему рівнянь приводять до рівносильної їй системі з трикутною матрицею (системи називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають). Дані дії називаються прямим ходом. З одержаної системи невідомі знаходять за допомогою послідовних підстановок, які називають зворотнім ходом. При виконанні прямого ходу використовують наступні перетворення:

1. множення або ділення коефіцієнтів вільних членів на одне і теж число;

2. додавання або віднімання рівнянь;

3. перестановка рівнянь системи;

4. виключення з системи рівнянь, в яких всі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю.

Універсальність методу Гауса полягає в тому, що за допомогою нього можна розв’язати систему будь-якого порядку.

Задача 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

a)