Задания для самостоятельного решения. Пусть квадратная матрица порядка

Определители.

Пусть квадратная матрица порядка . Всякой такой матрице можно поставить в соответствие число , называемое определителем этой матрицы, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) ; 2) ,

где – квадратная матрица порядка , получающаяся из матрицы вычеркиванием –й строки и –го столбца. Определитель называется минором порядка матрицы . Условия 1, 2 дают рекуррентное определение определителя матрицы.

Определитель обладает следующими свойствами:

1) ;

2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;

3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;

4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы состоит из нулей, то );

5) если к элементам некоторого столбца (строки) матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен

6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то

7) обозначим через определитель матрицы порядка получающейся из матрицы путем зачеркивания i -й строки и j -го столбца; число называется алгебраическим дополнением элемента для любого k, справедливы равенства:

,

(разложение определителя по k -му столбцу);

8)

Пользуются и другим обозначением определителя матрицы :

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 5».

+ – а б Рис. 1

Рис. 2

Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а), или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.

Правило «3 ´ 5» использует следующую схему (к матрице добавлены первые два столбца). Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков.

 

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить определитель:

1) ; 2) ; 3)

Ответ. 1) –12; 2) 20; 3) 40;

 

2. Решить уравнения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4)