Определители.
Пусть 
квадратная матрица порядка 
. Всякой такой матрице можно поставить в соответствие число 
, называемое определителем этой матрицы, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) 
; 2) 
,
где 
– квадратная матрица порядка 
, получающаяся из матрицы 
вычеркиванием 
–й строки и 
–го столбца. Определитель 
называется минором порядка матрицы . Условия 1, 2 дают рекуррентное определение определителя матрицы.
Определитель обладает следующими свойствами:
1) 
;
2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;
3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;
4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если один из столбцов (одна из строк) матрицы 
состоит из нулей, то 
);
5) если к элементам некоторого столбца (строки) матрицы А прибавить соответствующие элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то определитель новой матрицы В будет равен 
6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов (других строк) матрицы А, то 
7) обозначим через 
определитель матрицы порядка 
получающейся из матрицы 
путем зачеркивания i -й строки и j -го столбца; число 
называется алгебраическим дополнением элемента 
для любого k, 
справедливы равенства:
, 
(разложение определителя по k -му столбцу);
8) 
Пользуются и другим обозначением определителя матрицы :
Определитель второго порядка вычисляется по формуле
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом «3 
5».
+ –
 
а б
Рис. 1
|
Рис. 2
|
Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным главной диагонали (рис.1, а), или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.
Правило «3 ´ 5» использует следующую схему (к матрице 
добавлены первые два столбца). Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений элементов троек с учетом их знаков.
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислить определитель:
1) 
; 2) 
; 3) 
Ответ. 1) –12; 2) 20; 3) 40;
2. Решить уравнения:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
