Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков

Структура общего решения однородного линейного ДУ.

Оно имеет вид A(x)y⁽ⁿ⁾+B(x)y^(n-1)+…+K(x)y’+L(x)y=0

Для простоты запишем ЛОДУ в форме ЛОДУ второго порядка y’’+p(x)y’+q(x)y=0 (4)

Лемма 1. Если y₀ – какое либо решение уравнения y’’+p(x)y’+q(x)y=0, а С – постоянная, то функция

Y=Cy₀ также является решением ДУ (4).

Доказательство: надо подставить Y в левую часть (4). Так как Y’=Cy’₀, то следовательно Y’’=Cy₀’’

Результат подстановки будет таков Cy₀’’=p(x) Cy’₀+q(x) Cy₀ или что тоже самое C[y₀’’+ p(x)y’₀+ q(x)y₀]

Поскольку y₀ решение (4), то Y’’+p(x)Y’+q(x)Y=0, что и доказывает Лемму 1.

Лемма 2. Если y₁ и y₂ – решения ДУ (4), то и сумма их Y= y₁ и y₂ так же является решением ДУ (4)

В результате получится Y’’+p(x)Y’+q(x)Y=0. Лемма 2 доказана.

Определение. Две функции y₁ и y₂ называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянной величиной. Т.е. y₁/ y₂ сonst.

Основная теорема. Если y₁ и y₂ – два линейно независимых решения ДУ (4), то функция y=C₁y₁+C₂y₂, где C₁ и C₂ – произвольные постоянные, является общим решение уравнения (4).

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль. Для того чтобы решить однородное ДУ 2 порядка, нужно составить так называемое характеристическое уравнение: .

вместо второй производной записываем ;

вместо первой производной записываем просто «лямбду»;

вместо функции у ничего не записываем.

1. Если характеристическое уравнение – оно же обычное квадратное уравнение имеет два различных действительных корня и (т.е., если дискриминант ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: , где – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: .

2. Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня (дискриминант ),то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.

Если оба корня равны нулю , то общее решение опять же упрощается: . Кстати является общим решением того самого примитивного уравнения .

3. Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корня и (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения принимает вид: , где – константы.

Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: , то общее решение упрощается:

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни.