Понятие о системах счисления

Числа принято изображать с помощью специальных символов, называемых цифрами.

Способ наименования и записи чисел называют системой счисления.

Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные.

В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции. Примером такой системы счисления является римская система. В числе XXX, записанном в этой системе, цифра X в любой позиции озна­чает 10 (десять).

Поскольку выполнять арифметические действия с числами в непозиционных системах счисления достаточно сложно, то постепенно во всем мире перешли к пози­ционным системам счисления.

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места (пози­ции). Основанием позиционной системы счисления называется число используемых цифр в системе.

Десятичная система счисления

Название "десятичная" объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции или местоположения в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например, запись 425 означает, что число состоит из 4 сотен, 2 десятков и 5 единиц. Цифра 5 стоит в разряде единиц, цифра 2 - в разряде десятков, цифра 4 — в разряде сотен.

Если записать эти же цифры в другом порядке, например 524, то это число со­держит 5 сотен, 2 десятка и 4 единицы.

При этом цифра 5 имеет наибольший вес и называется

старшей цифрой числа а цифра 4 - наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 524 становится очевидным, если это число записать виде суммы: 5 * 10²+2* 10¹ +4 * 10°

В этой записи число 10 - основание системы счисления. Для каждой цифр числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен - двум и т. д.

Если десятичное число дробное, то оно тоже легко записывается в виде суммы, в которой степень основания для каждой цифры дробной части отрицательна и равна - 1 для старшей цифры дробной части - 2 для следующей цифры дробной части и т. л.

Например, десятичное число 384,9506 выразится суммой

384,9506=3 • 10² +8 * 10¹ +4 * 10°+9 * 10-¹ +5 * 10-²+0 * 10-³+6 • 10-⁴;

856,25=8 * 10²+5 • 10¹ - 6 * 10°+2 • 10^-1-5 • 10~²;

12937,1=1 * 10⁴+2 • 10³+9 • 10²+3 *10 +7 * 10⁰ +1 * 10-¹.

Таким образом, вес любой цифры десятичного числа представляет собой опре­деленную целую степень десяти, а значение степени диктуется позицией соответ­ствующей цифры.

Двоичная система счисления

В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2.

В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным

Для того чтобы отличить двоичное число от десятичного числа, содержащего только цифры 0 и 1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак дво­ичной системы счисления, например 110101,111,.

Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом.

Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число.

В этой сумме в качестве основания используется число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид

1 - 2⁶ +0 * 2⁵ +1 * 2⁴ +0 * 2³+1 *2 ² + 0 *2¹ +1 * 2°+1 • 2-¹ +0 • 2- ² +1 * 2 -³

Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа.

Выполняя в этой сумме арифметические опера­ции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625, или 1010101Д01₂ =85,625₁₀.

Правило перевода. Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами - цифрами и найти эту сумму.

Существенным недостатком двоичной системы является то, что для записи чис­ла в этой системе требуется довольно много цифр 0 и 1. Это затрудняет восприятие двоичных чисел человеком. Например, десятичное число 156 в двоичной системе имеет вид 10011100.

б) Сегіздік санау жүйесі. «Сегіздік» атауы бұл жүйенің негізі 8 болатынын білдіреді. Бұл жүйеде жазу үшін сегіз цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 таңбалары қолданылады..

Сегіздік жүйеде, ондық және екілік жүйелердегіндей, цифрлар мәні жазылуында позицияға немесе орналасқан орнына байланысты болғандықтан позициялық жүйе болады. Ондық сан 156 сегіздік жүйеде былай жазылады: 234 яғни 156₁₀ = 10011100₂ = 234₈.

Ондық сан тәрізді кез келген сегіздік сандарын қосынды түрінде көрсетуге болады:

2*8² + 3*8¹ + 4*8⁰ = 156₁₀

в) Он алтылық санау жүйесі. «Он алты» атауы бұл жүйенің негізі 16 болатынын білдіреді. Бұл жүйеде сандарды жазу үшін он арап цифры - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және латын алфавитінің алғашқы алты әріпі – A, B, C, D, E, F қолданылады. Латын әріптерінің мәні ондық жүйедегі А = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 сандарына сәйкес келеді.

Он алтылық жүйеде ондық, сегіздік және екілік жүйелердегіндей, цифрлар мәні жазылуында позицияға немесе орналасқан орнына байланысты болғандықтан позициялық жүйе болып табылады. Ондық сан 156 он алтылық жүйеде былай жазылады: 9С яғни

156₁₀ = 10011100₂ = 234₈ = 9С₁₆.

Ондық сан тәрізді кез келген он алтылық сандарын қосынды түрінде көрсетуге болады:

9*16¹ + С*8⁰ = 9*16¹ + 12*8⁰ = 156

	Алғашқы 32 санның әртүрлі санау жүйелеріндегі эквиваленті
	Санау жүйесі		Санау жүйесі
	10-дық	2-лік	8-дік	16-лық		10-дық	2-лік	8-дік	16-лық
				A					1A
				B					1B
				C					1C
				D					1D
				E					1E
				F					1F

Рассмотрим перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления.

Пусть А_ц = а _n-1 х 2 ^n-1 +... + а ₁ х 2 ¹ + а ₀ х 2 ⁰

- поделим А_ц на 2, тогда неполное частное будет а _n-1 х 2 ^n-1 + … +а₁,а остаток а₀

- полученное неполное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет а₁ и т.д.

- на n-м шаге получим набор остатков а ₀, а ₁, а ₂,..., а _n-1, которые входят в двоичное представление числа А_ц и совпадают с остатками от последовательного деления данного числа на 2. Но мы получим их в обратном порядке. Нужно только переписать их.

А_ц = а _n-1 а _n-2... а ₁ а ₀

Пример 1. Перевести число 11 из десятичной системы счисления в двоичную систему.

Соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления:

Пример 2. Если десятичное число достаточно большое, то можно применить следующий вид записи:

соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы и получим число в двоичной системе счисления

363₁₀ = 101101011₂

Рассмотрим перевод правильной десятичной дроби в двоичную систему счисления.

Пусть А_ц - правильная десятичная дробь,тогда его можно записать в виде:

А_др = а _-1 х 2 ^-1 + а _-2 х 2 ^-2 +...

Если А_др умножить на 2, то в правой части получим а _-1 + а _-2 х 2 ^-1 + а_-3 х 2 ^-2 +...,

где а_-1 - целая часть, она и даст нам старший коэффициент в разложении числа А_др по степеням 2. Оставшуюся дробную часть снова умножим на 2 и получим а _-2 + а_-3 х 2 ^-1 +..., где а_-2 - второй коэффициент после запятой в двоичном представлении числа. Процесс продолжить до тех пор, пока в правой части не получим 0 или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Пример 3. Перевести число 0,75 из десятичной системы счисления в двоичную систему. 0,7510 = 0,112 Проверка: 0,112 = 1 * 2 -1 + 1 * 2 -2 = 0,5 + 0,25 = 0,7510

Пример 4. Перевести число 0,7 из десятичной системы счисления в двоичную систему. 0,710 ≈ 0,1012 Проверка: 0,1012 = 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3= 0,5 + + 0 + 0,125 = 0,625

Этот процесс может продолжаться бесконечно, его обрывают на том шаге, когда считают, что получена требуемаяточность.

А если число смешанное? Тогда нужно отдельно перевести целую часть и отдельно - дробную.

Пример 5. Перевести число 15, 25₁₀

Значит 15,25₁₀ = 1111,01₂