Характеристика формы распределения единиц совокупности

Показатели особенностей формы распределения. Для определения типа закономерности эмпирического распределения оно приближенно описывается подходящим теоретическим (вероятностным) распределением, форму кривой которого называют формой распределения

В тех случаях, когда форма распределения анализируется на ее близость к нормальной форме, расхождение между ними оценивается показателями асимметрии и эксцесса.

Показатели асимметрии оценивают смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

В симметричном распределении максимальная ордината прямой располагается точно в середине кривой (рис. 4), а соответствующие ей характеристики центра распределения совпадают:

=Mo=Me

В случае асимметричного распределения вершина кривой находится не в середине, а сдвинута либо влево, либо вправо (рис. 6.1).

а) правосторонняя асимметрия б) левосторонняя асимметрия

Рис 6.1. Кривые асимметричных распределений

(пунктиром обозначена нормальная кривая).

Если вершина сдвинута влево, то правая часть кривой оказывается длиннее левой (рис. 4а), т.е. имеет место правосторонняя асимметрия, характеризующаяся неравенством

> Me>Mo,

что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака.

Если же вершина кривой сдвинута вправо и левая часть оказывается длиннее правой, то асимметрия левосторонняя (рис. 4б), для которой справедливо неравенство

< Me<Mo,

означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака.

Чем больше величина расхождения между , Me, Mo, тем более асимметричен ряд. Разности являются простейшими показателями асимметрии в рядах распределения.

В нормальном и близких к нему распределениях основная масса единиц (почти 70%) располагается в центральной зоне ряда, в диапазоне (). Для оценки асимметричности распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона:

.

При правосторонней асимметрии As_п>0, при левосторонней As_п<0. Если As_п=0, вариационный ряд симметричен.

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии As, вычисляемый по формуле

,

где n – число единиц совокупности. Как и в случае коэффициента Пирсона, при As>0 имеет место правосторонняя асимметрия при As<0 – левосторонняя. В симметричных распределениях As=0.

Чем больше величина |As|, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|As| 0,25 - асимметрия незначительная;

0,25<|As| 0, 5 - асимметрия заметная (умеренная);

|As|>0,5 - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты As_п и As являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

Показатель эксцесса характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой (рис.6.2).

а) островершинное б) плосковершинное

 

Рис.6.2. Кривые распределения с ненулевым эксцессом

(пунктиром обозначена нормальная кривая).

 

Для оценки расхождений в степени крутизны кривых (при одинаковой силе вариации) применяется коэффициент эксцесса Ek:

 

 

.

 

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений. Это объясняется тем, что за базу сравнения принята кривая нормального распределения, являющаяся симметричной. Относительно вершины нормальной кривой и определяется выпад вверх или вниз вершины теоретической кривой эмпирического распределения. При этом:

· если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная (рис. 5а). Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественномпоявлении в данных значений близких к средним;

· если Ek<0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной (рис. 5б). Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin .

Для нормального распределения Ek=0, поэтому чем больше абсолютная величина | Ek|, тем существеннее распределение отличается от нормального. В частности большая отрицательная величина Ek означает преобладание у признака крайних значений, причем одновременно и более низких, и более высоких. При этом в центральной части распределения может образоваться «впадина», превращающая распределение в двухвершинное (U – образной формы), что является индикатором неоднородности совокупности.

 

4. Характеристика формы распределения

Многие методы используемые в социально-экономической статистике могут применяться лишь тогда, когда единицы совокупности подчиняются нормальному закону распределения, т.е. когда зависимость частот встречаемости вариантов описывается в виде графика, который называется кривой нормального распределения.

 

 

f

x

Математическая функция, которая описывает эту кривую, называется законом распределения.

Существуют распределения, отличные от нормального в математической статистике, их называют теоретическими распределениями и для каждой из них определена соответствующая математическая функция.

f

х

Распределение Пуассона

 

 

Х (инвестиции)

Например.

Инвестиции описываются по этому закону (мелкие кредиты выдаются часто, а чем больше кредит, тем реже его дают).

Статистическому анализу исходных данных всегда предшествует этап, задачей которого является определение, принадлежат ли исходные данные семейству нормальных кривых.

 

В чистом виде нормальное распределение почти не встречается, однако существуют близкие к нему распределения. в частности, распределения с незначительной асимметрией (левой или правой), незначительной островершинностью или пологостью.

 

Для того, чтобы определить величину асимметрии, используют коэффициент асимметрии As. Если As >0, то асимметрия правосторонняя, если As < 0, то асимметрия левосторонняя.

Правосторонняя асимметрия означает, что в распределении появляются преимущественно более высокие значения признака, а левосторонняя –появляются более низкие значения признака.

Пологость или островершинность распределения единиц совокупности определяется путём вычисления показателей эксцесса.

 

.

 

если Ек > 0 –распределение островершинное, если Ек < 0 - пологое.

Смысл этих распределений заключается в том, что в случаях островершинного распределения данные концентрируются в центре и, следовательно,

в совокупности преимущественно появляются значения, близкие к средним.

В случае пологовершинного распределения может случиться, что данные не концентрируются в центре, а рассеяны по всей оси х, т.е. распределение не является нормапльным.

Чем больше абсолютная величина Ек, тем существеннее распределение отличается от нормального.