Спектральный анализ на основе быстрого преобразования Фурье

Гармонический анализ и синтез

Гармоническим анализом называют разложение функции f (t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в вычислении коэффициентов Фурье ak и bk по формулам (2) и (3).

Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник) (рисунок 1).

Классический спектральный анализ

Спектром временной зависимости (функции) f (t) называется совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Аk (спектр амплитуд) и j k (спектр фаз) от частоты w k = kw 1.

Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождении амплитуды Аk и фазы j k гармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная спектральному анализу, называется спектральным синтезом (рисунок 2 – продолжение рисунка 1).

 

Рисунок 1. Гармонический синтез

Рисунок 2. Классический спектральный анализ и синтез

Слово “классический” тут означает, что коэффициенты Фурье вычисляются прямым интегрированием тем методом, который используется в Mathcad.

Численный спектральный анализ

Численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов a 0, a 1, ..., ak, b 1, b 2, ..., bk (или A 1, A 2, ..., Ak, j 1, j 2, ..., j k) для периодической функции y = f (t), заданной на отрезке [0, Т] дискретными отсчетами. Он сводится к вычислению коэффициентов Фурье по формулам численного интегрирования для метода прямоугольников

(7)   (8)

где D t = T / N – шаг, с которым расположены абсциссы y = f (t).

Спектральный анализ на основе быстрого преобразования Фурье

Встроенные в Mathcad средства быстрого преобразования Фурье (БПФ) существенно упрощают процедуру приближенного спектрального анализа. БПФ – быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной 2 m (m – целое число) отсчетами во временной области, в частотную область. Если речь идет о функции f (t), заданной действительными отсчетами, следует использовать функцию fft.

Функция fft(v). Возвращает прямое БПФ 2 m -мерного вещественнозначного вектора v, где v – вектор, элементы которого хранят отсчеты функции f (t).

Результатом будет вектор А размерности 1 + 2 m - 1с комплексными элементами-отсчетами в частотной области. Фактически действительная и мнимая части вектора есть коэффициенты Фурье ak и bk, что существенно упрощает их получение.

 

Функция ifft реализует обратное БПФ:

ifft(v) Возвращает обратное БПФ для вектора v с комплексными элементами. Вектор v имеет 1 + 2 m - 1элементов.

Результатом будет вектор А размерности 2 m с действительными элементами.

На рисунке 3 показано применение БПФ для спектрального анализа и синтеза импульса.