Вывод основных ДУ
Полагаем, что время обслуживания З П С величина случайная и подчинена показательному закону распределения с параметром ν. Поэтому вероятность того, что время обслуживания поставки не превосходит t определяется выражением
Р(t) = 1 - е 
Вероятность противоположного события равна g(t) = е 
может находиться в следующих состояниях:
А 
- все факторы ЗПС не проявляют себя.
А 
- k – факторов себя проявляют себя, а остальные свободны от облуживания.
А 
- все факторы ЗПС проявили себя и обслуживают поставки.
Составим дифференциальные уравнения этих состояний ЗПС.
Обозначим через Δt очень маленький промежуток времени. Составим ДУ для состояния А . Оно возможно в следующих несовместных случаях:
- в момент времени t все факторы З П С себя не проявляют. За время Δt в области действия З П С не проявилась не одна поставка. Вероятность этого события равна
Р (t)е 
(1)
- в момент времени t один из факторов себя уже проявляет. За время Δt в области действия З П С не проявилась ни одна поставка, а действующий фактор прекратил своё действие. Вероятность этого события равна
Р 
(t) (1 - е 
) е 
(2)
Где Р (t) –вероятность того, что один фактор себя проявил воздействием на поставку.
Так как рассмотренные события несовместны, то составим уравнение состояния А
Р (t+ Δt) = Р (t) е + Р (t) (1 - е 
)е 
е 
(3)
Где Р (t+ Δt) - вероятность того, что во время (t + Δt) ни один из факторов
не будет воздействовать на поставки;
Р (t) - вероятность нахождения З П С в состоянии А ;
е - вероятность непоявления за Δt в области действия З П С ни
одной поставки;
(1 - е 
) - вероятность того, что за время Δt в области действия З П С
один из факторов прекратит свое воздействие на поставки.
Величину е можно разложить в ряд Тейлора и представить в следующем виде
е 
≈ 1 - λ Δt + …,
а
1 - е 
≈ νΔt + …,
Учитывая малость величины Δt. Можно уравнение (3) представить в виде, пренебрегая величинами более высокого порядка малости,
′ Р (t+ Δt) = Р (t) (1 - λ Δt) + Р (t) νΔt (1 - λ Δt). (4)
Преобразуем и разделим обе части уравнения (4) на Δt получим следующее соотношение
Р (t+ Δt) - Р (t) = - Р (t) λ Δt + Р (t) νΔt - Р (t)∙νΔt∙ λΔt). (5)
Так как в соотношении Р (t)∙νΔt∙ λΔt Δt∙Δt = Δt 
, то можно допустить, что Δt ≈0, то и само соотношение Р (t)∙νΔt∙ λΔt ≈ 0. Тогда справедливо соотношение
Р (t+ Δt) - Р (t) = - Р (t) λ Δt + Р (t) νΔt. (6)
Разделим обе части уравнения (6) на Δt получим следующее соотношение
= - Р (t) λ + Р (t) ν.
и, перейдя к пределу Δt → 0, получим
() = 
Р 
(t) = - Р (t) λ + Р (t) ν. (7)
Составим ДУ для состояния А . Оно возможно в следующих трёх несовместных случаях:
- в момент времени t «k» факторов З П С занято обслуживанием поставок. За время Δt в область действия З П С не проявилась ни одна поставка и ни один из занятых факторов не освободился. Вероятность этого события равна
Р (t) (1 - λ Δt)(1 – kνΔt); (8)
- в момент времени t З П С находилась в состоянии А 
. За время Δt в области действия З П С проявилась одна поставка, но ни один из действующий факторов не прекратил обслуживание своей поставки. Вероятность этого события равна
Р (t) λ Δt (1 – kνΔt); (9)
- в момент времени t З П С находилась в состоянии А 
. За время Δt в освободился один факторов З П С и в области действия З П С не проявилась ни одна поставка. Вероятность этого события равна
Р (t) (1 - λ Δt)(1 + k) νΔt. (10)
Тогда
Р (t+Δt)=Р (t)(1-λΔt)(1–kνΔt)+ Р (t)(1– kνΔt)λ Δt+Р (t)(1-λΔt)(1+k)νΔt. (11)
После аналогичных преобразований получаем
Р (t) = - (λ+kν)Р (t) + λ Р (t)+ Р (t) (k+1)ν. (12)
Это уравнение справедливо для случая 0≤ k≤ n.
Рассмотрим состояние А .
- в момент времени t З П С находилась в состоянии А . За время Δt ни один из занятых факторов не освободился. Вероятность этого события равна
Р (t) (1 – nνΔt); (13)
После соответствующих преобразований и перехода к пределу при Δt → 0, получим
Р (t) = - nνР (t) + λ Р 
(t). (14)
В итоге мы получили систему дифференциальных уравнений, которая описывает вероятности переходов состояний З П С, оснащённой n однородными факторами воздействия на поставки товаров и услуг из другого региона.
Р (t) = - Р (t) λ + Р (t) ν.
…………………………………….
Р (t) = - (λ+kν)Р (t) + λ Р (t)+ Р (t) (k+1)ν. (15)
………………………………………
Р (t) = - nνР (t) + λ Р (t).
Совокупность этих уравнений получила название системы уравнений Эрланга.
