Как построить график функции с помощью геометрических преобразований графиков.
Сжатие (растяжение) графика к (от) оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси 
Первая группа действий связана с умножением АРГУМЕНТА функции на число. Для удобства я разобью правило на несколько пунктов:
Сжатие графика функции к оси ординат
Это случай когда АРГУМЕНТ функции умножен на число, бОльшее единицы.
Правило: чтобы построить график функции 
, где 
, нужно график функции 
сжать к оси в 
раз.
Пример 1
Построить график функции 
.
Сначала изобразим график синуса, его период равен 
:
К слову, чертить графики тригонометрических функций вручную – занятие кропотливое, поскольку 
и т.д., то есть на стандартной клетчатой бумаге аккуратным нужно быть вплоть до миллиметра, даже до полумиллиметра. Впрочем, многие с этим уже столкнулись.
Теперь поиграем на бесконечно длинном баяне. Мысленно возьмём синусоиду в руки и сожмём её к оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём сжатия графика 
к оси ординат в два раза. Логично, что период итоговой функции тоже уполовинился: 
В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:
Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.
Пример 2
Построить график функции 
«Чёрная гармошка» 
сжимается к оси в 3 раза:
Итоговый график проведён красным цветом.
Исходный период косинуса закономерно уменьшается в три раза: 
(отграничен жёлтыми точками).
Растяжение графика функции от оси ординат
Это противоположное действие. Случай имеет место, когда АРГУМЕНТ функции умножается на число 
.
Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть от оси в 
раз.
Продолжим мучить синус:
Пример 3
Построить график функции 
Берём в руки нашу «бесконечную гармошку»:
И растягиваем её от оси в 2 раза:
То есть, график функции получается путём растяжения графика от оси ординат в два раза. Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: 
, он толком даже не вместился на данный чертёж.
Операции сжатия/растяжения графиков, разумеется, выполнимы не только для тригонометрических функций:
Пример 4
Построить графики функций 
График функции 
получается путём сжатия графика экспоненты 
к оси в два раза. А график 
– путём растяжения графика экспоненты от оси в два раза:
В качестве ассоциации можете опять поиграть на «баяне» .
Продолжаем систематизировать умножение аргумента функции на число:
Мы рассмотрели два случая – сжатие () и растяжение ().
Очевидно, что нет практического смысла рассматривать значения 
. Есть более интересный вопрос: что происходит, когда аргумент умножается на отрицательное число? Ответ будет получен чуть позже, а пока рассмотрим распространённый частный случай, когда 
:
