Теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка

Принципы составления дифференциальных уравнений.

Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д.

Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x)

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение.

Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у.

При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа:

1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z.

2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение

, то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи.

3)делим полученное неравенство на и переходим к lim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.

 

Принципы составления дифференциальных уравнений.

Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д.

Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x)

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение.

Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у.

При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа:

1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z.

2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение

, то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи.

3)делим полученное неравенство на и переходим к lim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.

 

теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка.

Условие (2) называется начальным условием или условиями Коши. (2)

Под задачей Коши будем понимать задачу об отыскании решения уравнения (1) удовлетв.данным (2)

Геометрически это означает, что из всего множества интегральных кривых нужно выделить ту интегральную кривую, которая проходит ч/з .

Естественно встаёт вопрос, есть ли вообще решение у уравнение (1), а если и есть, то сколько таких, удовл.условию (2).

Теорема 1.(теорема существования единственности решения) – если функция f и её частная производная непрерывна в области D, то решения дифф.уравнения (1), удовлетв.начальным условиям (2) существенно и единственно.

 

2.Уравнение первого порядка. Общие вопросы уравнения первого порядка.

Дифф. уравнением наз. равенство, связывающее независимую переменную x и зависимую переменную y с её производной.

Порядок самой старшей производной входящей в задание этого уравнения наз. порядком этого уравнения.

Рассмотрим обыкновенные дифф.уравнения 1-го порядка вида (1):

где F-заданная функция аргументов, F может определить не при всех значениях своих аргументов. Поэтому будем говорить об области определения функции F, D как область задания уравнения (1)’.

Иногда (1)’ удаётся выразить производную y’ через независимую переменную x и зависимую переменную y, то есть получим уравнение вида:

Это также уравнение первого порядка (обыкновенное) уравнение (1) называется уравнением относительно производной.

Уравнение (1)’ –уравнение не разрешено относительно системы производной.

Решением уравнения (1)’ будем называть всякую функцию y=y(x) определена на числовом промежутке которые при постановке в уравнении (1)’ обращает его тождество на интервале промежутка .

Промежуток наз.промежутком опред.решения y(x).

Следует отличить, что подстановка функции y в (1)’ возможна в том случае, если, когда y(x) имеет первую производную на всем интервале, а также при .

Для описания геометрического смысла решения уравнения разрешенной относительно производной (1) рассмотрим координатную плоскость Oxy.

Функция f может быть определена не во всей плоскости Oxy, а только в некоторой её части – области D.

Относительно D будем считать, что это открытая область, на которой сама функция f и её частное непрерывны тогда решение y=y(x) в области D опред.некоторую кривую.

РИСУНОК!!!

Эта кривая в каждой точке области D имеет касательную ; tg угла которой равен значению f в этой точке, значит данная кривая является гладкой.

Эта кривая целиком лежащая в области D называется кривой дифф.уравнения(1).

Другими словами интегральная кривая – это график решения; для выделения из всего множества уравнения (1) того решения, которое описывает наблюдаемый процесс, вводят дополнительные условие; требуют, чтобы функция в точке x₀ принимала значение y₀.

Дифф уравнение (1) опред значение производной y’ в любой точке с координат (x,y) в области Д, а значит опр знач условия координатной касательной к интегральной кривой, т.е. направление движения по интегральной прямой.

РИСУНОК

То есть уравнение (1) опред поле направления касательных.

Геометрически задача интегрирования уравнения (1) сводится к поиску интегральной кривой, направление касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля.

Изоклиной называют геометрическое место точек в области Д, в которых наклон касательных к решению один и тот же.

Уравнение изоклины:

Естественно, что для некоторых дифф уравнений сущ решение, которое во всех своих точках нарушают условия единственности решения, т.е.в любой окрестности в любой точке этого решения сущ хотябы 2 интегральные прямые, проходящие через эту точку, такие решения будем называть особыми.

В частности особым решением будут огибающие семейства интегральных кривых, если следует отметить то, что особое решение не может получить из общего ни при каком возможном значении параметра С (в том числе С=±∞

Поскольку для особого решения нарушаются условия единственности, то можно предложить след этапы нахождения общего решения.

1)найти множество точек, где частная производная обращаются в ∞.

2)если это множество точек образуют одну или несколько интегральных кривых, проверить являются ли они интегральными дифф уравнениями (1).

3)если это интегральные кривые, то проверить нарушаются ли в каждой точке условия единственности решения, т.е. являются ли эти кривые огибающими.