Представлення аналогових та дискретних сигналів у цифровій формі

У систему обробки інформації сигнали поступають, як правило, у неперервному вигляді. Далі вони перетворюються у дискретний вигляд, який є більш зручним для обробки. Для цього виконуються операції дискретизації (по часу) і квантування (по рівню). Отримані дискретні відліки кодуються тим чи іншим чином і на вхід обчислювальної системи поступає послідовність цифр. Операції дискретизації і квантування виконуються аналого-цифровим перетворювачем (АЦП), операції перетворення цифрового сигналу в аналоговий – цифро-аналоговим перетворювачем (ЦАП). Цифровий сигнал називають ще послідовністю. По аналогії з функціями існують різні способи задавання послідовностей: аналітичний, графічний, табличний та комбінація цих способів.

Аналого-цифрове перетворення сигналу здійснюється в два етапи: дискретизація по часу та квантування за рівнем.

Під дискретизацією розуміють перетворення неперервного сигналу в дискретний, представлений сукупністю відліків, за якими неперервний сигнал може бути відновлений із заданою точністю. Будемо вважати, що відліки сигналу є відліками часу. Дискретизація по часу (дискретизація) представляє собою процедуру взяття миттєвих значень сигналу x (t) через рівні проміжки часу T. На рис 1.5 показаний процес дискретизації неперервного сигналу x (t).

Рис. 1.5. Дискретизація та квантування неперервного сигналу:

x(t) - вихідний сигнал

Миттєві значення x [ nT ] називаються вибірками, або відліками, час T – періодом (інтервалом, кроком) дискретизації, n вказує порядковий номер відліку. Очевидно, що чим частіше брати відліки, тобто чим менше період дискретизації T, тим точніше послідовність відліків x [ nT ] буде відображати вихідний сигнал x (t). Період дискретизації T визначає частоту дискретизації f_Д.

F_Д = 1 / T; T = 1 / f_Д, (1.8)

звідки чим менше T тим вище f_Д. З іншої сторони, чим вища частота дискретизації, тим важче обчислювачу виконувати велику кількість операцій над відліками в темпі їх поступлення на переробку і тим складнішою повинна бути його будова.

Таким чином, точність представлення сигналу вимагає збільшення f_Д, а прагнення зробити обчислювач якомога більш простим приводить до бажання її понизити. Якщо брати відліки дуже рідко, то, у випадку швидкозмінного сигналу, вони не будуть містити інформації достатньої для його ідентифікації. Швидкість зміни сигналу характеризується верхньою частотою його спектру. Тому існує обмеження на мінімальне значення f_Д - для повного відновлення неперервного сигналу за його відліками x [ nT ] необхідно і достатньо, щоб частота дискретизації f_Д була, як мінімум, у два рази більшою найвищої частоти F у спектрі сигналу x (t), який передається, тобто:

; (1.9)

Таким чином, якщо сигнал не обмежений за спектром (верхня частота F прямує до нескінченності), то мінімально допустима величина інтервалу дискретизації буде прагнути до нуля. Звідси можна зробити важливий висновок – без втрати інформації дискретними відліками можуть бути представлені лише обмежені за спектром аналогові сигнали. Якраз тому в системах цифрової обробки сигналів перед виконанням дискретизації сигналу його спектр обмежується до частоти F = f_В шляхом застосування фільтра низьких частот, який називається ще антиелайзінговим фільтром.

Явище елайзінга заключається у виникненні спотворень сигналу за рахунок накладання спектру при невдалому виборі частоти дискретизації. Дискретизація в часі приводить до появи періодичних копій спектру сигналу. При надто малій частоті дискретизації ці копії перекриваються, що приводить до спотворень сигналу при його відновленні. Гармоніки сигналу з частотами вище частоти дискретизації відображаються в частоти нижче цієї частоти, створюючи завади. Гранична частота дискретизації f _д = 2F при якій перекриття ще не відбуваються називається ще частотою Найквіста.

У спектрі будь-якого конечного сигналу є такі вищі складові, які, починаючи з деякої верхньої частоти f _в, мають незначні амплітуди і тому ними можна знехтувати без суттєвого спотворення самого сигналу. Значення f _в визначається конкретним типом сигналу та задачі, яка розв’язується. Наприклад, для стандартного телефонного сигналу f _в = 3,4 кГц, а мінімальна стандартна частота його дискретизації f _д = 8 кГц.

Антиелайзінговий фільтр формує аналоговий сигнал із значно подавленими верхніми частотними складовими у смузі затримки, починаючи з частоти F = f _в. Це дає підставу вважати сигнал практично обмеженим по частоті і таким, що не зазнає ефекту накладання при частоті дискретизації не менше 2F. Дискретизація з частотою Найквіста називається граничною дискретизацією. Сигнал, дискретизований із f _д> 2F, називається передискретизованим сигналом. Незважаючи на те, що в цьому випадку одержується надлишкове число відліків, деколи така техніка необхідна, особливо при аналізі сигналів з виділенням якихось ознак.

Якщо крок дискретизації постійний, то дискретизація називається рівномірною, у протилежному випадку – нерівномірною. При нерівномірній дискретизації крок «підлаштовується» під швидкість зміни сигналу, збільшуючись на гладких, мало інформативних ділянках. Виникає необхідність в зберіганні значення інтервалу дискретизації між кожною парою відліків, тому нерівномірна дискретизація рідко використовується на практиці.

Аналогом дискретизації для цифрового сигналу служить операція проріджування. Суть її полягає в тому, що за певними правилами можна без втрати інформації «викидати» деякі члени послідовності, тобто проріджувати цифровий сигнал. Операція проріджування називається ще децимацією, ЇЇ виконує пристрій, який називається дециматором. Зворотна їй операція відновлення сигналу називається інтерполяцією, її реалізує інтерполятор. Децимація позначається стрілкою направленою вниз: ↓, а інтерполяція – стрілкою направленою вверх - ↑. Поряд із стрілкою стоїть коефіцієнт децимації (інтерполяції). Наприклад, запис ↓2 означає, що з послідовності вилучається кожний другий відлік; запис - ↑2 означає вставку нуля між сусідніми відліками. Дециматор і інтерполятор є лінійними системами.

Під квантуванням розуміють перетворення деякої величини з неперервною шкалою значень у величину з дискретною шкалою значень. Воно заключається в заміні будь-якого значення відліку одним із кінцевої множини дозволених значень або рівнів квантування.

Квантування проводиться з метою формування послідовності чисел x [ nT ] = x [ n ], представлених у двійковому коді. Для цього весь діапазон змін величини відліків розбивається на деяку кількість дискретних рівнів і кожному відліку за певними правилами присвоюється значення одного з двох найближчих рівнів квантування, між якими знаходиться даний відлік. Різниця між сусідніми квантованими значеннями визначає крок квантування, а різницю між фактичним і квантованим значенням називають помилкою квантування - ε. Максимальне значення цієї помилки дорівнює половині кроку квантування. Виходячи з потрібного значення помилки квантування, вибирається число рівнів квантування. Чим більше рівнів квантування, тим менша помилка.

Оскільки цілі числа (рівні квантування) розташовані через однакові інтервали, то говорять про рівномірне квантування. Відомо, що середня помилка рівномірного квантувача випадкового сигналу дорівнює ∆²/12, де ∆ - крок квантувача. Таким чином, у випадку операції заокруглення середня помилка виходить рівною 1/12. При рівномірному квантуванні випадкового сигналу співвідношення сигнал/шум на виході кантувача приблизно дорівнює 6 N дБ, де N – число біт, які використовуються для кодування одного відліку. Наприклад у 12-розрядного АЦП відношення сигнал/шум може дорівнювати 72 дБ.

Кількість рівнів квантування визначається розрядністю АЦП. Так, 3-х розрядний АЦП може мати тільки 8 рівнів квантування (k = 2³), а мінімальне і максимальне значення відліків дорівнюють відповідно 0 ↔ 000 і 7 ↔ 111. Таким чином чим більша розрядність АЦП, тим точніше представляється відлік, але тим складнішим і дорожчим є АЦП, який необхідний для вирішення поставленої задачі.

Помилка квантування на виході ідеального рівномірного квантувача має рівномірний спектр від 0 до частоти, яка дорівнює половині частоти дискретизації. Однак, система людського слуху (зору) має різну частотну чутливість. Існують методи побудови квантувачів, які враховують аудіовізуальні властивості людини. Спектр помилки квантування при цьому переміщується за межі видимого (чутного) діапазону, тобто здійснюється шейпінг шуму квантування. Такий шейпінг здійснює, наприклад, модулятор сігма-дельта АЦП.

Помилка квантування може приводити до певних проблем. Так, корельована з сигналом помилка квантування, наприклад, музикального сигналу дає відчуття «брудного» звуку при прослуховуванні. Для надання помилці більш випадкового характеру до вихідного аналогового сигналу можна добавити деяку кількість високочастотного шуму. Цей метод називається дизерізацією, а відповідний кантувач – дизерізованим. Енергія помилки при використанні даного методу дещо зростає, але помилка стає декорельованою із сигналом, що у деяких випадках покращує якість звучання. Найбільш ефективний, але трудомісткий метод декореляції помилки квантування називається дизерізацією із відніманням. Його суть у наступному: спочатку генерується і запам’ятовується послідовність псевдовипадкових чисел; потім вона пропускається через АЦП і складається з аналоговим сигналом. На виході АЦП запам’ятовані випадкові числа віднімаються від оцифрованого сигналу.

Зменшення помилки квантування можливе шляхом збільшення числа рівнів квантування. Однак, це не завжди можливо. Разом з тим у техніці широке застосування знайшли компандери. Це пристрої, які здійснюють стиснення динамічного діапазону аналогового сигналу перед кантувачем (компандування) і його розширення після кантувача (експандування). Використання компандерів дозволяє зменшити помилки квантування.

Останнім часом під квантуванням часто розуміють процес перетворення сигналів із дискретною шкалою значень також у цифрові сигнали, діапазон значень яких є меншим. Особливо важливе значення таке перетворення має для стиснення сигналів, тобто зменшення розмірності їх цифрового опису. При цьому аналоговий сигнал спочатку перетворюється в цифровий при допомозі квантування із достатньо великим числом рівнів, яке виконує АЦП, а потім цей сигнал «стискається» в системі ЦОС. Стиснення досягається за рахунок двох речей. По-перше, цифрові значення відліків реальних сигналів виявляються корельованими. Так, коефіцієнт кореляції сусідніх відліків мови приблизно дорівнює 0,9. Ця кореляція може використовуватись, наприклад у диференційних системах кодування або в системах стиснення з прогнозуванням. По-друге, при стисненні використовуються властивості людського слуху (зору), який виступає подібно фільтру, що пропускає певні частоти (та типи спотворень) і затримує інші. Завдяки цим властивостям часто спостерігається ефект розбіжності між суб’єктивно спостережуваною якістю сигналу та об’єктивно виміряною мірою спотворення.

Вибір міри спотворення є одним із найбільш важливих при проектуванні квантувача. Найбільш часто використовують середньоквадратичну помилку, яка виражається в зручній математичній формі і багато в чому відображає властивості чуттєвого сприйняття.

Деколи квантування безпосереднього сигналу не настільки ефективне, як квантування його перетвореної версії. Причиною цього є те, що при належному виборі перетворення, його коефіцієнти можуть виявитися декорельованими. В основному використовуються ортогональні перетворення, наприклад, Фур’є, дискретне косинусне, вейвлет-перетворення. Найбільш часто кодування з перетворенням використовується при стисненні зображень. Так, в основу стандарту JPEG покладено дискретне косинусне перетворення, а в основу стандарту JPEG2000 – вейвлет-перетворення зображення. На заключній стадії багатьох алгоритмів стиснення використовується ентропійний кодер. В якості такого кодера найбільш часто використовується поєднання кодера довжин серій з кодером Хаффмана або арифметичним кодером.

При побудові алгоритму стиснення існують дві можливості: аналізувати і квантувати кожний відлік сигналу окремо або разом з іншими відліками, об’єднуючи їх у вектор. Відповідно розрізняють скалярне та векторне квантування.

Скалярний квантувач, як уже описувалось раніше, характеризується двома параметрами: числом рівнів квантування та кроком квантування. Найпростішим видом скалярного квантувача є рівномірний квантувач.

У результаті квантування, яке здійснюється аналого-цифровим перетворювачем, у канал зв’язку передається послідовність двійкових чисел. Кількість таких чисел визначається частотою дискретизації f _д, а швидкість С їх передачі в каналі залежить ще і від розрядності b представлення чисел

(1.10)

і при передачі по каналу, наприклад, мовного сигналу при стандартних b =12, f _д = 8000 Гц отримуємо С = 96000 біт/с, що перешкоджає використанню стандартних телефонних каналів.

У таких випадках використовують векторне квантування, поступаючи наступним чином (рис. 1.6): у послідовності, яка кодується, визначають L блоків по k відліків у кожному при умові, що ці відліки не сильно відрізняються один від одного. Ці k відліків можуть бути відображені із заданою похибкою своїм представником y. Такі блоки називають кластерами, а представника k -го кластера - k -м центроїдом. Тоді кожний відлік x [ n ], який належить k -му кластеру, замінюється відповідним центроїдом, і в канал зв’язку передається тільки номер кластера (центроїда). При передачі та прийомі необхідно мати множину із L центроїдів, яка називається кодовою книгою, а параметр L – розміром кодової книги. Типові розміри кодових книг у мовних технологіях складають 256, 512, 1024, 2048 центроїдів (кластерів). Нехай, наприклад, L = 1024 = 2¹º. Це означає, що кодова книга містить 1024 центроїда розмірністю k = 10 кожний. Тобто, замість набору із десяти параметрів (на передачу яких необхідно було б відвести порядка 40 бітів) передається тільки номер кластера (а тому і номер центроїда) якому належить даний набір, на що необхідно всього 10 бітів, тобто забезпечується стиснення сигналув 4 рази.

Рис. 1.6. Кластери і центроїди одномірної послідовності

На практиці коефіцієнт стиснення може бути суттєво більшим, що визначається співвідношенням:

, (1.11)

де b – розрядність одного відліку k –мірного вектору; R – кількість бітів, затрачуваних на передачу одного відліку.