Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления

а). По критерию Найквиста

 

Так как годограф разомкнутой импульсной системы не охватывает точку (-1; j0), то замкнутая система устойчива.

- коэффициент усиления разомкнутой САУ

- модуль комплексного коэффициента усиления при аргументе

 

 

Полученный результат говорит о том, что в реальных условиях система будет устойчива при любом значении коэффициента усиления.

 

б). По критерию Гурвица

 

Запишем выражение для передаточной функции замкнутой ИСАУ

Введем обозначение и запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

Произведём подстановку и запишем характеристическое уравнение в виде

Подставив известные значения в последнее уравнение, получим:

Так как характеристическое уравнение второго порядка и имеет положительные коэффициенты, исследуемая система является устойчивой в замкнутом состоянии.

 

Для определения запишем передаточную функцию замкнутой ИСАУ в следующем виде:

 

После подстановки и замены получим следующее характеристическое уравнение:

 

Так как для САУ 2-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, то из полученного уравнения

 

с). По корням характеристического уравнения замкнутой системы

 

Характеристическое уравнение:

1, значит замкнутая САУ является устойчивой.

 

 

Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ

 

Запишем передаточную функцию замкнутой ИСАУ в виде

 

 

Перейдём от изображения к оригиналу

 

 

Переходной процесс построим по следующему разностному уравнению:

 

 

В итоге получаем следующий вид процесса:

 

 

Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ.

 

Используем следующие формулы для расчёта ошибок:

а). Статическая ошибка

 

На входе системы X(t)=1(t), тогда

 

 

 

б). Кинетическая ошибка

 

На входе системы X(t)=t×1(t), тогда

 

 

 

 

Таблица 2.

Значения переходной функции.

Номер шага Момент времени Значение

		0,00E+00
	0,01	9,90E-05
	0,15	1,16E-02
	0,3	4,36E-02
	0,45	9,38E-02
	0,6	1,60E-01
	0,75	2,39E-01
	0,9	3,29E-01
	1,05	4,27E-01
	1,2	5,31E-01
	1,35	6,37E-01
	1,5	7,43E-01
	1,65	8,47E-01
	1,8	9,47E-01
	1,95	1,04E+00
	2,1	1,13E+00
	2,25	1,20E+00
	2,4	1,27E+00
	2,55	1,33E+00
	2,7	1,37E+00
	2,85	1,41E+00
		1,43E+00
	3,15	1,44E+00
	3,3	1,45E+00
	3,45	1,44E+00
	3,6	1,42E+00
	3,75	1,40E+00
	3,9	1,36E+00
	4,05	1,33E+00
	4,2	1,29E+00
	4,35	1,24E+00
	4,5	1,20E+00
	4,65	1,15E+00
	4,8	1,10E+00
	4,95	1,05E+00
	5,1	1,01E+00
	5,25	9,70E-01
	5,4	9,33E-01
	5,55	9,00E-01
	5,7	8,71E-01
	5,85	8,47E-01
		8,28E-01
	6,15	8,14E-01
	6,3	8,06E-01
	6,45	8,02E-01
	6,6	8,02E-01
	6,75	8,07E-01
	6,9	8,15E-01
	7,05	8,27E-01
	7,2	8,42E-01
	7,35	8,59E-01
	7,5	8,78E-01
	7,65	8,98E-01
	7,8	9,19E-01
	7,95	9,40E-01
	8,1	9,61E-01
	8,25	9,81E-01
	8,4	1,00E+00
	8,55	1,02E+00
	8,7	1,03E+00
	8,85	1,05E+00
		1,06E+00
	9,15	1,07E+00
	9,3	1,08E+00
	9,45	1,08E+00
	9,6	1,09E+00
	9,75	1,09E+00
	9,9	1,09E+00
	10,05	1,09E+00
	10,2	1,08E+00
	10,35	1,08E+00
	10,5	1,07E+00
	10,65	1,06E+00
	10,8	1,05E+00
	10,95	1,04E+00
	11,1	1,03E+00
	11,25	1,02E+00
	11,4	1,01E+00
	11,55	1,01E+00
	11,7	9,97E-01
	11,85	9,90E-01
	12,3	9,71E-01
	12,45	9,67E-01
	12,6	9,64E-01
	12,75	9,62E-01
	12,9	9,61E-01
	13,05	9,61E-01
	13,2	9,61E-01
	13,35	9,63E-01
	13,5	9,65E-01
	13,65	9,67E-01
	13,8	9,71E-01
	13,95	9,74E-01
	14,1	9,78E-01
	14,25	9,82E-01
	14,4	9,86E-01
	14,55	9,91E-01
	14,7	9,95E-01
	14,85	9,99E-01
		1,00E+00
	15,15	1,01E+00
	15,3	1,01E+00
	15,45	1,01E+00
	15,6	1,01E+00
	15,75	1,02E+00
	15,9	1,02E+00
	16,05	1,02E+00
	16,2	1,02E+00
	16,35	1,02E+00
	16,5	1,02E+00
	16,65	1,02E+00
	16,8	1,02E+00
	16,95	1,01E+00
	17,1	1,01E+00
	17,25	1,01E+00
	17,4	1,01E+00
	17,55	1,01E+00
	17,7	1,01E+00
	17,85	1,00E+00
		1,00E+00
	18,15	1,00E+00
	18,3	9,99E-01
	18,45	9,97E-01
	18,6	9,96E-01
	18,75	9,95E-01
	18,9	9,94E-01
	19,05	9,93E-01
	19,2	9,93E-01
	19,35	9,92E-01
	19,5	9,92E-01
	19,65	9,92E-01
	19,8	9,92E-01
	19,95	9,93E-01
	20,1	9,93E-01
	20,25	9,94E-01
	20,4	9,95E-01
	20,55	9,95E-01
	20,7	9,96E-01
	20,85	9,97E-01
		9,98E-01
	21,15	9,99E-01
	21,3	9,99E-01
	21,45	1,00E+00
	21,6	1,00E+00
	21,75	1,00E+00
	21,9	1,00E+00
	22,05	1,00E+00
	22,2	1,00E+00
	22,35	1,00E+00
	22,5	1,00E+00
	22,65	1,00E+00
	22,8	1,00E+00
	22,95	1,00E+00
	23,1	1,00E+00
	23,25	1,00E+00
	23,4	1,00E+00
	23,55	1,00E+00
	23,7	1,00E+00
	23,85	1,00E+00
		1,00E+00
	24,15	1,00E+00
	24,3	1,00E+00
	24,45	1,00E+00
	24,6	1,00E+00
	24,75	1,00E+00
	24,9	1,00E+00