Параметры распределения (дискретных) случайных величин

Опр.: Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид.

 

X:	xi	x1	x2	…	xk
pi	p1	p2	…	pk

, тогда математическим ожиданием М(Х) назыв. число, вычисляемое по ф-ле:

Неформально: Математическое ожидание случ. величины – такое число, около которого группир-ся значение этой случ. величины.

Св-ва математического ожидания.

1) М(С)=С, где С- пост. случ. величина.

2)М(aх)=aМ(х); a-некоторое число.

3)М(Х±Y)=М(X)±M(Y).

4)Пусть случ. величины X иY- независимы, тогда (XY)=M(X)M(Y).

5)Пусть х1,…,хn- случ. величины такие, что M(x1)=…=M(xn)=a; M((x1+…+xn)/n)=a.

Дисперсия (дискретной) случайной величины.

Опр.: Пусть закон распределения случ. величины Х имеет вид:

Х:

xi	x1	x2	…	xk
pi	p1	p2	…	pk

Дисперсией D(X)- этой случ. величины называется число, вычисл. по ф-ле:

Неформально: Дисперсия случ. величины яв-ся мерой разброса значений этой случ. величины около её мат. ожидания.

Св-ва дисперсии: 1)D(С)=0, С- пост. случ. величина.

2)D(aX)=aв квадрате×D(X).

3)Пусть случ. величины X иY-независимы =>D(X±Y)=D(X)+D(Y). 4)D(X)=M(X в квадрате) – М в квадрате(Х).

5)Пусть случ. величины Х1,Х2,…Хn- независимы и D(X1)=…=D(Xn)=s в квадрате.; тогда D((x1+…+xn)/n)=(s в квадрате)/n). Замечание: – назыв. среднеквадратическим отклонением случ. величины X и часто обозначается через s(сигма).

Теорема: Пусть случ. величина Х биномиально распределена с параметрами n и p, тогда M(X)=np; D(X)=npq; q=1-p; M(X/n)=p; D(X/n)=(pq)/n.

Док-во: Пусть Х- число наступившего события А в n повторн. независ. исп-ях в каждом из которых соб А наступает с вер-тью р => Х=Х1+Х2+…+Хn,где Xi- число наступ-его соб-я А в i испытаний (1£i£n). Х1,Х2,…Хn– независ. и одинаково распределены. 1£i £ n.

 

Xi	Xj
Pj	q	p

M(Xi)=0×q+1×p=p.;

M(X)=M(X1+…+Xn)=M(X1)+…+M(Xn)=p+…+p=np.

D(X)=D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)=pq+..+pq=npq. Теорема доказана.

Пример: Пусть Х-бином. Распред-а n=3, p=0,8; M(X)=3×0,8=2,4; D(X)=3×0,8×0,2==0,48.

Функция распред-я (дискретной) случайной величины.

Опр.: Ф-ей распред-я F(x) случ. величины Х назыв. такая функция, значение которой в т. х численно равно вер-ти того, что в некотор. Испытании значение этой случ. величины окажется меньше, чем х, т.е. F(x)=P(X<x). Функция распределения дискретной случ. величины яв-ся кусочно – постоянной, она претерпевает скачки в

точках возможных значений этой случ. величины, а величины этих скачков=соответствующим вер-стям. Св-ва функции распределения: 1) F(X)-неубывающая функция;

2) 0£F(X)£1;

3)limF(X)=0, где хà-¥., limF(X)=1, где хà+¥.;

4)F(a£x<b)=F(b)-F(a).

Док-во: 2) F(X)=P(X<x) т.к. D£P£1 => D£F(X)£1.;

3)limF(X)=limP(X<x)=P(X<-¥)=0, где х в пределах стремится к -¥.; limF(X)==limP(X<x)=P(X<+¥)=1, где х в пределах стремится к +¥.

4)F(b)=P(X<b)=P((X<a)+(a£X<b)=P(X<a)+P(a£b)=F(a)+P(a£X<b).

Непрерывная случайная величина.