Гиперболический параболоид

Называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем уравнение (12.7).

Рассмотрим сечение плоскостью , т.е. .

- парабола симметрична относительно оси с вершнами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной .

- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе , и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными .

- гипербола, симметричная относительно плоскостей .

состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.

Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка .

Теорема: Если некоторая точка лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими - вершина. Проведем сечение .

- эллипс с полуосями .

Если , то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: (12.9)

Это уравнение определяет единственную действительную точку . Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.

 

№/п	Рисунок	Название поверхности	Уравнение поверхности
		Эллипсоид
Мнимый эллипсоид

 

		Однополостный гиперболоид
		Двухполостный гиперболоид

 

		Эллиптический параболоид
		Гиперболический параболоид

 

		Конус
Мнимый конус

 

Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»

№/п	Условия	Уравнение
	Векторное уравнение плоскости
	Векторное уравнение плоскости в координатной форме
	Общее уравнение плоскости
	Угол между двумя плоскостями, заданными нормальными векторами прямых
	Угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями и
	Условие параллельности двух плоскостей, заданными общими уравнениями
	Условие перпендикулярности двух плоскостей, заданными общими уравнениями
	Векторно – параметрическое уравнение прямой в пространстве
	Параметрическое уравнение прямой в пространстве ; - координаты направляющего вектора, t – параметр.
	Уравнение плоскости в отрезках
	Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
	Расстояние от точки до плоскости .
	Каноническое уравнение прямойв пространстве,проходящей через точку параллельно вектору
	Направляющие косинусы прямой в пространстве, где направляющий вектор прямой
	Условие параллельности двух прямых в пространстве, заданными каноническими уравнениями и
	Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве, заданными каноническими уравнениями и
	Угол между двумя прямыми в пространстве
	Угол между прямой и плоскостью определяется - направляющий вектор, - нормаль к плоскости.
	Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве
	Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
	Условия, при которых прямая принадлежит плоскости
	Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую