Лекция 10. Плоскость в пространстве
Плоскость в пространстве
Определение 10.10. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
(10.1)
Если левая часть (10.1) есть многочлен, то плоскость называется алгебраической, степень этого многочлена должна быть единицей, т.к. плоскость – это поверхность первого порядка.
Пусть в декартовой системе координат дана некоторая плоскость a, точка 
.
Определение 10.2. Любой вектор 
, перпендикулярный плоскости a, будем называть нормальным вектором этой плоскости - 
.
Пусть 
- произвольная точка пространства. Рассмотрим вектор 
. Если точка 
, то 
. Если точка 
, то эти векторы не перпендикулярны. Таким образом, условием принадлежности точки М к плоскости a является условие, , т.е. 
. (10.2)
Это и есть уравнение плоскости. Распишем его в координатах. Т.к.
(10.3)
Это уравнение плоскости, проходящее через точку 
и перпендикулярно вектору 
где 
, 
- координаты точки известной точки, 
- координаты точки М – текущей точки плоскости.
Пример 10.1. 
. Написать уравнение плоскости 
;
- уравнение плоскости.
Раскроем скобки в уравнении (10.3), получим:
- общее уравнение плоскости, (10.4),
где 
.
Общее уравнение плоскости и его исследование
Рассмотрим уравнение (10.4) ,
, 
- текущие координаты.
1) 
Þ не перпендикулярен ни одной из осей координат, т.к 
не удовлетворяют уравнению (10.4), то плоскость не проходит через начало координат. 
2) 
вектор не перпендикулярен ни одной из осей координат и значит, плоскость не параллельна ни одной из осей координат, т.к. , то плоскость проходит через начало координат.
3) 
,
а плоскость 
. Если: 
, то содержит ось 
.
4) 
, то плоскость параллельна Оу, при 
плоскость содержит ось Оу.
5) 
, то плоскость параллельна оси 
, , то плоскость содержит ось . 
2) 
()
3) А=С= 0, Ву+D= 0, 
()
4) В=С= 0, Ах+D =0, 
()
5) А=В=С= 0 Þ D= 0; при 
, уравнение теряет смысл; при , уравнение плоскость не определяет.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость a не параллельна ни одной из осей и не проходит через точку 
. Тогда она задается общим уравнением (10.4): 
, где . Пусть плоскость пересекает оси координат в точках 
.
Т.к. 
, то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
Для Р: 
,
Для Q: 
,
Для R: 
.
Подставляя 
в уравнение плоскости и разделив на «–D» получим: 
- уравнение плоскости в отрезках (10.5)
Уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки
Пусть плоскость a проходит через три заданные точки: 
. Пусть - произвольная точка пространства R3.
Рассмотрим три вектора:
;
;
;
точка , вектора лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. По условию компланарности трёх векторов – их смешанное произведение равно нулю: 
.
Или через координаты: 
(10.6)
Это уравнение плоскости, проходящее через три точки.
Пример 10.2. Написать уравнение плоскости, проходящее через точки 
.
;
- уравнение плоскости.
