Элементы квантовой теории электропроводности металлов

Рассмотрим распределение электронов по уровням валентной зоны (зоны проводимости) в металле.

При температуре в соответствии с принципом Паули электроны заполняют попарно нижние уровни этой зоны, а остальные уровни будут свободны. На рис. 10, б изображена зона проводимости, имеющая уровней, половина из которых заполнена электронами.

Рис. 10. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при :

а - график функции распределения Ферми-Дирака; б - энергетическая диаграмма

Так, например, бывает, когда на последнем занятом уровне в основном состоянии атома металла находится только один электрон.

Функция распределения электронов по разрешенным энергетическим уровням, учитывающая принцип Паули, была получена итальянским физиком Э. Ферми и независимо от него английским физиком П. Дираком. Она называется функцией распределения Ферми-Дирака и имеет вид

(7)

где - среднее по времени число электронов на энергетическом уровне; - энергия уровня; - энергия уровня Ферми; - температура кристалла; - постоянная Больцмана.

Уровнем Ферми называется последний занятый электронами уровень на энергетической диаграмме (рис. 10, б). Он соответствует максимальной энергии , которой может обладать электрон в металле при . Энергию называют энергией Ферми. Численное значение для металлов составляет несколько электронвольт. Например, для меди, широко используемой для изготовления проводников, энергия Ферми .

Из функции Ферми-Дирака (7) следует, что при температуре для значений энергии электронов , меньших энергии Ферми , число электронов на каждом энергетическом уровне , а для значений энергии, больших энергии Ферми , число электронов на уровне . График функции Ферми-Дирака при приведен на рис. 10, а. Для большей наглядности он совмещен с энергетической диаграммой.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни.

Такие переходы изменяют распределение электронов по уровням, установившееся при . Для того чтобы понять характер этого изменения, сравним энергию, которую получает электрон при повышении , с величиной энергии Ферми .

Средняя энергия, передаваемая электрону при нагревании, имеет порядок величины, равный . При температуре величина равна . Для металлов энергия Ферми составляет в среднем .

Следовательно, для металлических проводников выполняется неравенство в широком диапазоне температур, используемых в технике.

Это неравенство показывает, что тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны, расположенные на энергетических уровнях в сравнительно узкой полосе шириной , примыкающей к уровню Ферми (рис. 11, б).

В результате теплового возбуждения часть электронов с энергией, меньшей энергии Ферми , переходит на уровни с энергией, большей энергии Ферми , и устанавливается новое распределение электронов по энергетическим уровням. График такого распределения, построенного по формуле Ферми-Дирака (7) показан на рис. 11, а.

 

Рис. 11. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле при :

а - график функции распределения Ферми-Дирака; б - энергетическая диаграмма

 

Для наглядности график совмещен с энергетической диаграммой. Ордината на графике характеризует среднюю по времени занятость уровня, имеющего соответствующую энергию . Например, ордината означает, что этот уровень только половину времени занят одним электроном или часть времени – двумя электронами, а остальное время пустует. Чем выше температура, тем шире полоса , тем более полого пойдет участок графика в пределах этой полосы (рис. 11, а).

Расчет показывает, что распределение электронов по энергетическим уровням в металлических проводниках при температурах, используемых в технике, мало отличается от распределения при (рис. 12).

Рис. 12. Распределение электронов по уровням зоны проводимости в меди при

Из вышесказанного следует, что концентрация электронов проводимости в металлах и средняя скорость их теплового движения практически от температуры не зависят. С ледовательно, в формуле (2) для удельной электропроводности металла от температуры зависит лишь подвижность электронов.

В квантовой теории показывается, что величина подвижности электронов проводимости в металле ограничивается их рассеянием на тепловых колебаниях ионов кристаллической решетки. С увеличением температуры металла эти колебания усиливаются, что приводит к увеличению рассеяния электронов и к уменьшению их подвижности . Детальные расчеты приводят к выводу о том, что подвижность уменьшается обратно пропорционально температуре : .

Следовательно, удельное сопротивление металла будет линейно зависеть от температуры:

.

В сравнительно широком интервале температур это хорошо подтверждается экспериментальной зависимостью (5).