Элементы зонной квантовой теории твердых тел

Зонная квантовая теория позволяет объяснить с единой точки зрения механизм проводимости металлов, полупроводников и диэлектриков. Поскольку подробное рассмотрение квантовой теории в данной работе не входит в нашу задачу, мы сформулируем два ее положения, нужные нам, в виде некоторых постулатов.

Во-первых, энергия электрона в квантовых системах (атомах, молекулах, кристаллах и т.д.) может принимать не любые значения, а лишь дискретный ряд значений, которые называют разрешенными уровнями энергии. В качестве примера на рис. 4 изображена энергетическая диаграмма атома, имеющая шесть разрешенных уровней энергии электронов.

Во-вторых, электроны подчиняются принципу запрета Паули (В. Паули – швейцарский физик-теоретик): в любой квантовой системе, например в атоме или в кристалле, в данном квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Обычно одному энергетическому уровню соответствуют два различных квантовых состояния электрона с противоположно направленными собственными моментами импульсов. Собственный момент импульса элементарных частиц называют спином. Поэтому принцип запрета Паули формулируют еще и таким образом: в квантовой системе на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Такое парное размещение электронов по уровням условно показано на рис. 4. Стрелками условно изображены направления спинов электронов.

При оценке распределения электронов по энергетическим уровням следует также учитывать, что система электронов стремится занять состояние с минимальной в данных условиях энергией. Поэтому заполнение электронами энергетических уровней начинается снизу: сначала заполняются уровни с наименьшими значениями энергии. В основном (невозбужденном) состоянии атома верхние разрешенные уровни остаются незаполненными (рис. 4). На эти уровни переходят электроны при сообщении им энергии, т.е. при возбуждении атома.

По мере сближения отдельных атомов между ними возникает взаимодействие, в результате которого их энергетические уровни несколько смещаются друг относительно друга и расщепляются, образуя энергетические зоны из близко расположенных уровней.

Рассмотрим подробнее возникновение этих зон в воображаемом процессе формирования кристалла из отдельных атомов при их сближении. Схема этого процесса изображена на рис. 5.

Пусть, например, кристалл образуется из отдельных одинаковых атомов, условная энергетическая диаграмма каждого из которых изображена на рис. 5, в. При этом энергетические уровни 2, 3 и 4 принадлежат внешним (валентным) электронам атома. В основном состоянии атома уровни 2 и 3 заполнены электронами, а уровень 4 остается свободным. Уровень 1 принадлежит внутренним электронам, расположенным ближе к ядру атома.

При сближении атомов усиливается взаимодействие их электронных оболочек. При достижении расстояния r₁ между атомами начинается расщепление уровней валентных электронов: каждый уровень расщепляется на близко расположенных уровней (рис. 5, б).

Уровни внутренних электронов атомов начинают расщепляться при значительно меньших расстояниях между атомами (уровень 1 на рис. 5, б).

При дальнейшем сближении атомов расщепление энергетических уровней усиливается, происходит образование энергетических зон.

При малых расстояниях между атомами может произойти перекрытие зон, получающихся из двух соседних уровней (уровни 2 и 3 на рис. 5, б). Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме чисел уровней, на которые расщепляются оба уровня атома.

При достижении определенного расстояния между атомами, соответствующего их равновесному расположению и равного , формирование кристалла заканчивается.

На рис. 5, а изображена энергетическая диаграмма кристалла, имеющего равновесное расстояние между атомами, равное .

На этой диаграмме видно, что в результате расщепления энергетического уровня 4 отдельного атома в кристалле образуется энергетическая зона 4, называемая разрешенной зоной.

В результате расщепления уровней 2 и 3 отдельного атома и перекрытия образовавшихся при этом зон в кристалле появляется разрешенная зона 2-3. Эти зоны разделены промежутками, в которых разрешенных значений энергии электронов нет. Такие промежутки называются запрещенными зонами. Поскольку в данном кристалле уровень 1 в зону не расщепляется, то в дальнейшем он и подобные ему уровни нас интересовать не будут.

На энергетической диаграмме некоторого кристалла (рис. 6) изображены для простоты только две разрешенные зоны. Нижняя зона образовалась из уровня, на котором находились один или два валентных электрона в основном состоянии атома. Эту зону мы будем называть валентной. Верхняя зона образовалась из уровня, не занятого валентными электронами в основном состоянии атома. Эту зону мы будем называть свободной. Между этими зонами расположена запрещенная зона с шириной D Е.

Ширина разрешенных и запрещенных зон не зависит от размеров кристалла. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт . Следовательно, густота расположения уровней в зоне зависит от размеров кристалла. В кристалле размером в содержится примерно атомов. При ширине разрешенной зоны в уровни в ней будут располагаться на расстоянии друг от друга. Это значение расстояния между энергетическими уровнями в зоне мы будем использовать в дальнейшем.

Заполнение валентной зоны электронами начинается снизу. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне располагается не более двух электронов с противоположно направленными спинами. При температуре энергия кристалла имеет минимальное значение. В зависимости от степени заполнения валентной зоны при и от ширины запрещенной зоны всю совокупность кристаллов можно разбить на следующие три основные группы.

 

1. Валентная зона при заполнена электронами неполностью.

 

Например, заполнение валентной зоны наполовину происходит, если на последнем занятом уровне в основном состоянии атома находится только один электрон (рис. 4 и 7, а). Частичное заполнение этой зоны происходит и в случае перекрытия зон, образовавшихся из занятого и свободного уровней атома (рис. 7, б).

 

Численные оценки показывают, что при помещении кристалла во внешнее электрическое поле оно передает электронам, находящимся в валентной зоне, дополнительную энергию порядка . Этой энергии оказывается достаточно для перевода электронов на более высокие свободные уровни. Такие переходы эквивалентны приобретению ими скорости упорядоченного движения против электрического поля, то есть возникновению электрического тока. Кристалл с подобной энергетической диаграммой представляет собой металл, а валентная зона на ней называется зоной проводимости.

2. Валентная зона при заполнена полностью, а ширина запрещенной зоны не превышает 2-3 эВ (рис. 8, а).

В этом случае для увеличения энергии электронов их надо перевести из заполненной валентной зоны на незанятые уровни свободной зоны. Это можно сделать, лишь сообщив им энергию, не меньшую, чем ширина запрещенной зоны. Электрическое поле не в состоянии сообщить электронам такую энергию. Поэтому при перевода электронов через запрещенную зону нет и полупроводник ведет себя как изолятор (рис. 8, а).

При температуре больше нуля энергии теплового движения оказывается достаточно для того, чтобы перевести часть электронов из валентной зоны в свободную. Электроны, переведенные в свободную зону и частично ее заполняющую, будут находиться в условиях, аналогичных тем, в которых находятся электроны валентной зоны в металле (рис. 8, б). Поэтому свободная зона становится зоной проводимости. Вследствие ухода некоторого количества электронов из валентной зоны в ней освобождается такое же количество мест на верхних уровнях (рис. 8, б). В результате в валентной зоне появляется возможность перехода электронов с нижних уровней на освободившиеся места верхних уровней.

Количественные оценки, однако, показывают, что число электронов, переведенных в свободную зону при комнатной температуре, сравнительно невелико. Следовательно, невелики будут концентрация носителей тока n в кристалле и его электропроводность . Из-за сравнительно невысокой электропроводности такие кристаллы называют полупроводниками.

 

 

3. Валентная зона при заполнена полностью, а ширина запрещенной зоны больше (рис. 9).

При такой широкой запрещенной зоне тепловое движение уже не способно перевести заметное число электронов из валентной зоны в свободную (рис. 9). Поэтому подобные кристаллы относят к диэлектрикам.

Следует отметить, что разделение кристаллов на полупроводники и диэлектрики носит в известном смысле условный характер. Четкая граница между ними отсутствует.