Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности и рассчитывается по формуле:
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать большей фондовооруженностью. Результаты вычислений отображены в таблице 7.
Таблица 7
Норма замещения труда ОПФ
| Sk(ti) | |
| 29,29418 | |
| 33,01264 | |
| 37,25108 | |
| 42,00029 | |
| 47,34829 | |
| 36,44202 | |
| 27,99929 | |
| 21,52925 | |
| 16,57823 | |
| 17,19892 | |
| 17,85936 | |
| 18,51449 | |
| 18,51693 | |
| 23,57742 | |
| 29,99785 |
Из таблицы 7 видно, что при t = 5 норма замещения труда самая большая (SK = 47,3), следовательно, в этом случае производственными фондами можно компенсировать недостаток труда, а при t = 9 норма замещения труда самая малая (SK = 16,5), значит, недостатка труда не наблюдается и компенсировать его фондами нет необходимости.
Следующим этапом является вычисление значения величины A(t1) по формуле:
После соответствующих вычислений находим, что коэффициент A(t1) = 1,044 и примерно равен коэффициенту нейтрального научно - технического прогресса А (А = 1,041). В свою очередь, А - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Т.к. коэффициент A(t1) = А, то он получает подобную интерпретацию.
При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и интенсивные факторы роста (за счет повышения эффективности использования ресурсов).
Для того чтобы определить за исследуемый период рост выпуска, фондов и численности занятых необходимо обозначить выпуск и ресурсы в относительных (соизмеримых) единицах измерения и рассчитать следующие коэффициенты:
• рост выпуска 
= 2,009
• рост фондов 
= 2,055
• рост численности занятых 
= 2,007
Эти коэффициенты показывают во сколько раз увеличились выпуск, фонды и численность занятых к 15 периоду по сравнению с первым (базисным) периодом. Можно сделать вывод, что валовой выпуск, ОПФ и число занятых за исследуемый период увеличились приблизительно в 2 раза.
Найдем теперь эффективность экономики, представленной производственной функцией, в которой выпуск и ресурсы обозначены в относительных единицах измерения через X, К, L. Эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов К и настоящего труда L. Поэтому имеются два частных показателя эффективности:
1. частная эффективность ресурсов по фондам 
2. частная эффективность ресурсов по труду 
Итак, получили что ЕК = 0,977, a EL = 1,001. Эти показатели свидетельствуют, что вводимые фонды неэффективны, так как ЕK<1, а трудовые ресурсы вполне эффективны EL>1.
Находим обобщенный показатель экономической эффективности как среднее геометрическое частных показателей экономической эффективности:
,
в котором роль весов выполняют относительные эластичности:
1) по фондам 
2) по труду β = 1 – α,
α = 0,259, β = 0,740.
То есть частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в производственную функцию соответствующие ресурсы.
В данном случае обобщенный показатель экономической эффективности равен:
Е = 0,995.
Этот показатель позволяет определить, во сколько раз увеличилось производство за счет повышения эффективности использования ресурсов. Здесь ресурсы, в совокупности используются неэффективно.
Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства) равен
После необходимых расчетов получили, что М = 2,01. Данный коэффициент показывает, во сколько раз возросло производство за счет увеличения объема используемых ресурсов.
Таким образом, общий рост валового выпуска с t1 по t15 произошел за счет роста масштабов производства в 2,01 раза и за счет повышения эффективности производства в 0,995 раза.
В целом относительный рост выпуска продукции равен:
2,009.
3. УЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ ПАРАМЕТРОВ ПФКД.
Параметры производственной функции объективно зависят от времени, т.е.:
Исходные данные:
| t | K | L | X |
| 70,3 | 146,56 | ||
| 71,7 | 169,26 | ||
| 73,1 | 196,65 | ||
| 74,6 | 230,3 | ||
| 76,1 | 266,51 | ||
| 79,1 | 287,84 | ||
| 82,3 | 308,4 | ||
| 85,6 | 329,45 | ||
| 355,82 | |||
| 94,4 | 419,19 | ||
| 494,34 | |||
| 588,82 | |||
| 116,6 | 714,39 | ||
| 128,3 | 920,98 | ||
| 141,1 | 1194,47 |
Для определения параметров динамической ПФКД с использованием стандартной процедуры МНК произведем логарифмирование
lnXt = lnA0 + pt + α1lnKt + α2lnLt и получим:
| lnX | lnK | lnL |
| 4,987435 | 6,583409 | 4,252772 |
| 5,131436 | 6,72263 | 4,272491 |
| 5,281425 | 6,862758 | 4,291828 |
| 5,439383 | 7,003065 | 4,312141 |
| 5,585412 | 7,142827 | 4,332048 |
| 5,662405 | 6,919684 | 4,370713 |
| 5,731398 | 6,695799 | 4,410371 |
| 5,797425 | 6,472346 | 4,449685 |
| 5,874425 | 6,249975 | 4,488636 |
| 6,038324 | 6,345636 | 4,547541 |
| 6,203224 | 6,440947 | 4,60517 |
| 6,378121 | 6,535241 | 4,663439 |
| 6,571429 | 6,630683 | 4,758749 |
| 6,825438 | 6,967909 | 4,854371 |
| 7,085458 | 7,303843 | 4,949469 |
Вычисляем параметры lnA0, α1, α2, t, выполнив следующие команды: «Сервис» – «Анализ данных» – «Регрессия», вычисляем величину коэффициента нейтрального технического прогресса А0, используя стандартную функцию «EXP» TP «Excel»:
А0 = 1,05
lnA0 = 0,049
α1 = 0,259
α2 = 0,735
t = 0,100
Найденная производственная функция Кобба- Дугласа:
X(t) = 1,05 * K(t)0,26 * L(t)0,73 *e0,1p.
Уравнение регрессии будет иметь вид:
y(t) = 1,05 + 0,1p + 0,26lnK(ti) + 0,73lnL(ti).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Использование производственной функции Кобба-Дугласа для моделирования производственного звена экономики позволяет произвести достаточно глубокое исследование развития экономических процессов в данном звене в том числе:
1) определить валовой выпуск продукции при использовании заданных объемов ОПФ и привлечении заданного количества трудовых ресурсов;
2) определить предельное значение эффективности использования ОПФ и привлекаемых трудовых ресурсов;
3) показать, что при неограниченном росте одного ресурса при неизменном втором ресурсе, отдача от этого ресурса падает;
4) найти количественное значение эластичности факторов, влияющих на валовой выпуск продукции;
5) определить в целом характер изменения показателей экономики (растущий или сокращающийся);
6) определить требуемые соотношения между трудом и фондами, а также возможность замены одного другим для получения заданных результатов функционирования исследуемой экономики;
7) найти эффективность функционирования экономики, т.е. определить за счет каких факторов произошел рост валового выпуска продукции (интенсивный или экстенсивный).
Данные расчеты в свою очередь позволяют произвести прогноз ожидаемых результатов развития экономики исследуемого объекта и дать определенные рекомендации для достижения желаемых результатов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М: ЮНИ-ТИ, 1998. - 240 с. (стр. 7 - 28);
2. Пучков В.Ф. Математические модели макроэкономики: учебное пособие. –Гатчина: Издательство ЛОИЭФ, 2007. – 185 с.
