Определение параметров математической модели

Как уже упоминалось выше, в качестве изучаемой системы берётся экономика условного объекта. Входными показателями объекта считаются:

K(t_i) - величина основных производственных фондов (млрд. руб.);

L(t_i) - величина используемых трудовых ресурсов (тыс. чел.).

А в качестве выходного показателя принимается X(t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд.руб.) (см. таблица 1).

 

Таблица 1

Исходные данные

t	X	K	L
	132,61		70,3
	138,58		71,7
	145,68		73,1
	154,38		74,6
	161,64		76,1
	157,97		79,1
	153,15		82,3
	148,03		85,6
	144,66
	154,21		94,4
	164,55
	177,35
	194,69		116,6
	227,11		128,3
	266,52		141,1

В качестве математической модели принимается производственная функция Кобба - Дугласа, вида:

Необходимо определить параметры А, α₁, α₂. Для этой цели проводим логарифмирование данной функции и получаем линейное уравнение регрессии вида:

lnX(t_i) = lnA + α₁* lnK(t_i) + α₂* lnL(t_i).

Используя стандартную функцию «ln» табличного редактора (ТР) "Excel", находим значения величин lnX(t_i), lnK(t_i), lnL(t_i) (см. табл. 2).

Таблица 2

Значения lnX, lnK, lnL

t	lnX	lnK	lnL
	4,887	6,583	4,253
	4,931	6,723	4,272
	4,981	6,863	4,292
	5,039	7,003	4,312
	5,085	7,143	4,332
	5,062	6,920	4,371
	5,031	6,696	4,410
	4,997	6,472	4,450
	4,974	6,250	4,489
	5,038	6,346	4,548
	5,103	6,441	4,605
	5,178	6,535	4,663
	5,271	6,631	4,759
	5,425	6,968	4,854
	5,585	7,304	4,949

Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии и статистических критериев, характеризующих значимость и точность найденного уравнения используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

Получаем следующие таблицы:

Таблица 3

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99987465
R-квадрат	0,999749315
Нормированный R-квадрат	0,999707535
Стандартная ошибка	0,003245661
Наблюдения

Таблица 4

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		0,504139918	0,252069959	23928,46725	2,48179E-22
Остаток		0,000126412	1,05343E-05
Итого		0,50426633

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,040532091	0,024625807	1,645919259	0,1257001	-0,0131229	0,0941871
lnK	0,259057537	0,002890817	89,61394525	2,49046E-1	0,25275898	0,26535608
lnL	0,737895089	0,003966108	186,0501958	3,9084E-22	0,72925368	0,74653649

 

Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н_о о том, что коэффициент регрессии равен 0. Значение F-критерия признается достоверным, если оно больше табличного, тогда нулевая гипотеза отвергается и уравнение регрессии признается значимым. В данной задачe значимость F близка к 0 (2,48-E), т.е. такова вероятность принятия нулевой гипотезы (нулевая гипотеза отвергается). Значит, что найденное уравнение регрессии близко к истинному и имеет коэффициенты отличные от 0.

В таблице «Дисперсионный анализ» Р-значение характеризует вероятность принятия нулевой гипотезы по каждому коэффициенту регрессии. В рассматриваемой задаче нулевую гипотезу можно отвергнуть.

После выполнения проверок, вычисляем величину нейтрального технического прогресса А, используя стандартную функцию "ЕХР" ТР "Excel". Получаем результат вычисления: А =1,04.

Итак, производственную функцию Кобба-Дугласа можно записать так:

Строим графики производственной функции:

- X = f(K) при L = L_max = const;

- X = f(L) при K = K_max = const.

Значения K и L принимаем в пределах от 0 до максимального значения. Получаем L_max = 141,1 K_max = 1486. Шаг вычислений определяем по формулам:

K = K_max/20, L = L_max/20 (74,3 и 7,005 соответственно). Строим графики, используя «Мастер диаграмм» TP Excel. (Приложение 1 и 2).

На основании проведенных вычислений можно сделать вывод, что корреляционная связь, описанная уравнением

с большой долей вероятности точно характеризует взаимосвязь результирующего показателя X(t_i) - величина валового выпуска продукции (млрд. руб.). с К(t_i) - величиной основных производственных фондов (млрд. руб.) и L (t_i) - величиной используемых трудовых ресурсов (число занятых в производстве тыс. чел.).

 

 

Исследование модели

Производственная функция Кобба-Дугласа обладает свойством, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увеличивается. Частные производные выпуска по факторам называются предельными продуктами или предельными эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на единицу прироста фактора:

β(t_i) - предельная эффективность фондов;

γ(t_i) - предельная эффективность труда.

Эти величины рассчитываются по формулам:

В данном случае предельная фондоотдача пропорциональна (но меньше ее) средней фондоотдаче f(t_i) с коэффициентом α₁ < l, а предельная производительность труда - средней производительности труда p(t_i) с коэффициентом α₂ < 1.

В таблице 5 содержатся значения предельной эффективности факторов, средней фондоотдачи и производительности труда, а в приложении 3 - графики изменения этих величин, которые имеют общую тенденцию.

 

Таблица 5