Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Тема

Математическая статистика

 

Относительная частота события
P^*(A)=m/n

где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.

Вероятность случайного события

P(A)=lim(m/n) (при n→∞)

Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий

P(А или В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей)

P(А и В) = Р(А)Р(В).

Р(АиВ)=Р(В/А)Р(А)

Для двух событий вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испы-таниях (биномиальное распределение)

P_in=n(n-L)•••(n_-L+1)P^L(L-P)^n-L ⁄ L!,

где Р — вероятность наступления события А.

Распределением дискретной случайной величины называют сово-

купность ее значений: х₁, х₂,... и соответствующих вероятностей:

p(x₁)=p₁, p(x₂)=p₂ ….

Условие нормировки для дискретной случайной величины, имею­щей п значений,

Среднее значение дискретной случайной величины

‹X›=(m_{1 1}+m₂x₂+…+m_nx_n)/n=x₁m₁/n+..+x_nm_n/n

где т_i, — число дискретных случайных величин, имеющих значение x_i.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

M(X)= x₁p₁ +..+x_np_n

 

Дисперсия дискретной случайной величины

D(X) = M{[X-M(X)]²},

D(X) = M(X²)-[M(X)]²,

Среднее квадратическое отклонение

S(X)=(D(X))^1/2

Вероятность того, что непрерывная случайная величина прини­мает какое-либо значение в интервале (а, b)

где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей).

Условие нормировки для непрерывной случайной величины

Функция распределения случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение. График закона распределе­ния представлен на рис.

Функция распределения по нормальному закону

F(x)=Ф((x-a)/σ)

Значения функции Ф даны в табл.

Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох

где т_о — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)

Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул

 

где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)

Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравита­ционном поле, на высоте h (барометрическая формула)

где р_h — давление на высоте h=0

Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однород­ном гравитационном поле, на высоте h

где n_о — концентрация молекул газа на высоте h = О

Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение ге­неральной совокуп-ности)

‹ x_в› - ε< μ < ‹ x_в› + ε,

где ‹ x_в› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε харак­теризует точность оценки и называется доверительным интер­валом

При большой выборке (n>30)

τ=(εn^1/2)/σ

где σ - генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое откло­нение

Связь между τ и P Ф(τ)=(1+P)/2

 

Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке

n≤30

ε=ts/n^1/2

Здесь s²=nσ_b²/(n-1)— исправленная выборочная дисперсия,

где σ_b² — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.

Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение случайной величины. Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами,