Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ

A.) По критерию Найквиста;

B.) По критерию Гурвица;

C.) По корням характеристического уравнения

Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ.

Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ.

Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученными на основе пакета прикладных программ.

 

 

1 Преобразование исходной структурной схемы к типовому виду; определение не­прерывной передаточной функции приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы .

 

Исходная структурная схема импульсной САУ

 

Рис 1.

 

 

(период квантования);

 

Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду:

Преобразованная структурная схема

 

 

Рис 2.

 

Согласно Рис.2, выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы будет определяться следующим соотношением:

 

Так как , то .

 

 

Определим весовую функцию для приведенной непрерывной части САУ . Для этого представим в виде суммы слагаемых:

 

2 Нахождение дискретной передаточной функции разомкнутой импульсной системы по .

 

 

Так как по условию расчетного задания в импульсной системе существует небольшое запаздывание (, но не равно нулю), то в выражении для дискретного преобразования Лапласа суммирование начинается не с нулевой дискреты (), а с первой дискреты (). Учитывая этот факт, получим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

3 Построение годографа разомкнутой импульсной САУ:

a.) По выражению ;

 

 

Используя формулу Эйлера получим:

 

Выделим в выражении действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование .

Значения и , полученные для разных , сведены в таблицу 1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на Рис.3

 

 

 

 

Рис.3.

 

 

b.) По годографу

Построение годографа по годографу производится согласно выражению: , где

В приближении: , где .

;

 

 

Рис. 4.

 

 

Таблица 1.

	50	100	200	450	600	900	1200	1500	1800
Точный метод
	-1,369	-1,749	-1,845	-1,87	-1,873	-1,875	-1,876	-1,876	-1,876
	-42,962	-21,451	-10,645	-4,532	-3,251	-1,877	-1,084	-0,503

Приближённый метод
	-1,384	-1,752	-1,844	-1,871	1,873	-1,873	-1,874	-1,874	-1,874
	-42,038	-20,566	-9,804	-2,539	-2,539	-1,25	-0,537	-0,032	0,398

 

 

4 Оценка устойчивости замкнутой импульсной САУ и нахождение предельного коэффициента усиления:

A.) По критерию Найквиста;

 

Так как АФХ охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии не является устойчивой.

 

Предельный коэффициент можно определить согласно следующему соотношению:

где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном - 180⁰.

 

B.) По критерию Гурвица;

 

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:

 

Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

 

После преобразований, из последнего соотношения получим:

 

 

Так как характеристическое уравнение 1-го порядка имеет один отрицательный коэффициент, то рассматриваемая система не является устойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ представим следующим образом:

Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда, после преобразований, получим:

Так как для САУ 1-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, получим

 

5 Построение переходного процесса для замкнутой импульсной САУ при К=0.9137.

 

с.) По корням характеристического уравнения;

 

Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для получим, что:

 

 

Характеристическое уравнение: ;

 

Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:

;

т.е. , а – значит замкнутая САУ не является устойчивой.

Предельный коэффициент усиления получаем из решения уравнения:

, откуда и, приравняв получим значение

;

Разделим числитель и знаменатель на , тогда

Переходной процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :

Построим переходной процесс с помощью пакета Mathcad:

 

 

 

 

 

Рис. 5.

 

Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ

Номер шага	Момент времени	Значения переходного процесса
	0.01	1.142
	0.02	0.979
	0.03	1.002
	0.04	0.999
	0.05	0.999
	0.06	0.999
	0.07	0.999
	0.08	0.999
	0.09	0.999
	0.10	0.999
	0.11	0.999
	0.12	0.999
	0.13	0.999
	0.14	0.999
	0.15	0.999