Составил преподаватель Калмыкова О.И. Составлена преподавателем Калмыковой О

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 23

По дисциплине: МАТЕМАТИКА

Наименование работы: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО ФОРМУЛЕ ТРАПЕЦИЙ.

 

 

Для специальностей 210705, 210709, 210723.

 

Составлена преподавателем Калмыковой О. И.

 

г. Смоленск

2011 г.

Практическая работа № 23.

для студентов 2 курса.

Тема: Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций.

 

1. Цель работы: Приобретение навыков вычисления определенных интегралов по формуле трапеций.

2. Литература:

1) Н.В. Богомолов "Практические занятия по математике" М.: Высшая школа, 1990 г.

3. Подготовка к работе:

1) Изучить теоретический материал по теме: «Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций».

2) Подготовить бланк отчета по практической работе.

3) Подготовить ответы на вопросы допуска к работе:

1. Понятие определенного интеграла.

2. Свойства определенного интеграла.

 

4. Основное оборудование:

Литература, конспект.

5. Задание:

Выполните задание согласно варианту.

 

 

Вариант 1. Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .	Вариант 2. Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .
Вариант 3. Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .	Вариант 4. Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .
Вариант 5. Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .	Вариант 6.Вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций с точностью : а) ; б) .

 

6. Порядок выполнения работы:

1.Требование к ТБ;

2. Ответьте на вопросы допуска к работе;

3. Выполните задание, соответствующее варианту.

4. Оформите отчёт;

5. Ответьте на контрольные вопросы.

 

7. Содержание отчёта:

1. Наименование и цель работы;

2. Результаты выполнения работы;

3. Анализ результатов и выводы.

4. Ответы на контрольные вопросы.

 

Контрольные вопросы.

1. Понятие определенного интеграла.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла функции на интервале (а; b)?

4. Запишите формулу трапеций.

 

9. Методические указания:

Не для всякой непрерыв­ной функции ее первообразная выражается через элемен­тарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, за­данных табличным или графическим способами, а также интегралы от функций, первообразные которых выража­ются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практиче­ской точки зрения не рационально, В этих случаях вы­числение определенного интеграла по формуле Ньютона — Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегри­рования.

Пусть на отрезке [a; b], a < Ь, задана непрерывная функция f(x); требуется вычислить Для наглядности будем считать, что f(x) 0 на отрезке[a;b]. Ра­зобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками x_i i=0, 1, 2,..., n,

Длина h каждого из полученных отрезков [x_i-1; x_i] рав­на (Ь—а)/п, т, е. h=(b—a)/n.

Обозначим через y_t значения функции f(x) в точках х_г

В зависимости от того, как аппроксимируют данную функцию f(x) на каждом из отрезков [x_i-1; x_i], получаются различные формулы для приближенного вычисления

интеграла . Мы рассмотрим наиболее простые формулы приближенного интегрирования: формулы прямо­угольников и формулу трапеций.

 

Приближенное вычисление определенного интеграла.

 

Существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.

 

Формула прямоугольников.

 

При вычислении интеграла по. формулам прямоугольников подынтегральная функция f(x) заменяется «ступенчатой функцией», которая на каждом из отрезков [x_i-1; x_i] имеет постоян­ное значение, равное значению функции f(x) на одном из концов этого отрезка.

 

Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, …, x_m, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …., y_n = f(x_n).

Составим суммы: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n-1Dx

y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда или

- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

Формула трапеций.

 

Эта формула является более точной по

у сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае

заменяется на вписанную ломаную.

 

y₁ у₂ у_n

 

a x₁ x₂ b x

 

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

 

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

 

В более полных курсах математики доказывается, что абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле прямоугольников, не больше чем , а по формуле трапеции — не больше чем , где М₁ и M₂ — наибольшие значения соответственно и на отрезке [а; b].

 

Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

 

(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)

 

Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

у

 

 

0 х₀ х₁ х₂ х₃ х₄ х

 

Уравнения этих парабол имеют вид Ax² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)

Обозначим .

Если принять х₀ = -h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид:

 

 

Тогда

 

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.

 

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.

 

По формуле Симпсона получим:

m
x	-2	-1
f(x)	2.828	3.873		4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

 

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

 

Пример. Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций. Оценить погрешности.

Разделим отрезок [0; 1] на п = 10 частей. Тогда h=(b-a)/n = 0,l. Составляем таблицу значений подын­тегральной функции.

 

По формуле прямоугольников (1) получим

 

Оценим погрешности. Так как f'(x)=(sinx²)' =2xcosx² и f"(x)=(2xcosx²)' =2(cosx²-2x²sinx²), то на отрезке [0;1] имеем и , т.е. М₁=2 и М₂=4. Таким образом, абсолютная погрешность результата, полученного по формуле прямоугольников, не больше , а по формуле трапеций – не больше .

 

Составил преподаватель Калмыкова О.И.