Время выполнения тура: два астрономических часа

Интернет-олимпиада по математике, 2011-2012 учебный год.

Второй тур. 7-8 класс.

Задача 1: Можно ли из нескольких одинаковых треугольников, каждый из которых имеет углы 30, 60, 90 градусов, сложить целиком фигуру

а) параллелограмм б) прямоугольник в) тупоугольный треугольник г) трапецию д) ромб

Задача 2: Василий написал на доске 3 различных целых числа таких, что 1/ a + 1/ b +1/ c = 0. Могли ли все числа оказаться:

а) отрицательными б) простыми в) положительными г) нечетными д) составными

Задача 3: Дан квадрат 6 × 6 (из 36 клеток). На какие фигурки можно его разрезать:

а) б) в) г) на любые связные одинаковые фигуры из 3 клеток д) на любые связные одинаковые фигуры из 4 клеток

Задача 4: Каждую минуту в группе из n человек образуются несколько пар, где каждый обменивается всеми новостями со своим собеседником. Изначально каждый знает ровно одну свою уникальную новость. Смогут ли за 3 минуты люди успеть обменяться всеми новостями, чтобы каждый узнал каждую, если n равно:

а) 5 б) 6 в) 7 г) 8 д) 9

Задача 5: На доске написано число 1. За один ход Василий может либо умножить на 2, либо прибавить 4 к числу на доске, стерев при этом старое число. Может ли он таким способом получить число:

а) 101 б) 111 в) 2012 г) любое четное д) любой квадрат натурального числа

Задача 6: Вася решил сыграть с 6 своими одноклассниками в следующую игру: Он загадал 6-значное число, состоящее из 6 различных цифр, после чего сказал каждому из одноклассников свою уникальную цифру и заявил, что его число делится нацело на каждую из этих цифр и все цифры различны. Отличник Петя, недолго думая, заявил, что Вася ошибается и такого быть не может. Какая цифра могла попасться Пете?

а) 1 б) 3 в) 5 г) 8 д) 6

Задача 7: Сумма нескольких чисел равна 1. Чему может быть равна сумма их квадратов?

а) 1 б) 0.01 в) 0.1 г) 5 д) 0

Задача 8: Сколькочисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1000, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?

а) 50 б) 100 в) 300 г) 334 д) 500

Задача 9: Можно ли из точки на плоскости провести пять лучей так, чтобы среди рассматриваемых всевозможных углов было ровно n острых углов, если n равно:

а) 1 б) 2 в) 4 г) 10 д) 11

Задача 10: На плоскости нарисовано n отрезков, длина каждого из которых не меньше 1 и не больше 100. При каких n гарантированно можно выбрать 3 отрезка, из которых можно составить треугольник?

а) 10 б) 11 в) 12 г) 13 д) 14

Задача 11: Какая из цифр не встречается в десятичной записи числа 9/77

а) 3 б) 5 в) 7 г) 2 д) 0

Задача 12: У Васи 3 карточки с числами. Он дважды составил трехзначное число, а потом отнял из наибольшего наименьшее. Какую разность он мог получить?

а) 198 б) 100 в) 200 г) 710 д) 792

Задача 13: Можно ли расставить знаки действий + - / * (скобки ставить нельзя) между цифрами в выражении 1 2 3 2 1 таким образом, чтобы получить

а) 3 б) 0 в) 12 г) 14 д) 4

Задача 14: Ваня хочет вместо звездочки вставить в число 123*456 цифру так, чтобы оно делилось на n. Получится ли это у него, если n равно

а) 6 б) 15 в) 11 г) 12 д) 13

Задача 15: На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32. Разрешается стереть любые два числа и записать их разность. Можно ли в результате таких операций добиться того, чтобы на доске осталось только число:

а) 6 б) 15 в) 11 г) 12 д) 13

Время выполнения тура: два астрономических часа.

Фамилия Имя

Класс

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.

Задача 8.