Законы распределения Симпсона, равной вероятности и Релея

При различных условиях обработки заготовок рассеяние их действительных размеров могут подчиняться и другим законом распределения.

Закон Симпсона (равнобедренного треугольника) применяется для описания погрешности размеров заготовок, на которых оказывает влияние один доминирующий фактор с переменным характером изменения во времени, сначала ускоренным, потом замедленным, а затем вновь ускоренным. Такие условия могут возникнуть при быстром изнашивании инструмента (рис.5,а). Дифференциальный закон распределения Симпсона

(9)

 

Кривая распределения размеров заготовок имеет вид равнобедренного треугольника (рис. 5, б). Средние арифметические и среднее арифметическое отклонение соответственно равны:

 

Поле рассеяния ω = 2 4,9

Закон Симпсона действует при обработке заготовок по 7-му, 8-му, а иногда и по 6-му квалитетам.

Рис. 5. Характер изменения доминирующего фактора (а) и кривая распределения размеров по закону Симпсона (б)

 

Закон равной вероятности наблюдается в том случае, если на погрешность размеров оказывает влияние один доминирующий фактор, равномерно изменяющийся во времени (равномерный износ режущего инструмента). За время (рис. 6, а) размер заготовок изменился в пределах от до . Вследствие того, что переменная систематическая погрешность изменяется по линейной зависимости ), то появление каждого размера равно вероятно. Дифференциальный закон распределения равной вероятности:

 

(10)

 

Графически такое распределение имеет вид прямоугольника (рис.6, б). Среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение соответственно равны:

Поле рассеяния . Закон равной вероятности распространяется на распределение размеров деталей, повышенной точности (5-й, 6-й квалитеты и выше при их обработке по методу пробных ходов и измерений). Из-за сложности получения размеров очень высокой точности, вероятность попадания размера заготовки в узкие границы допуска по среднему, наибольшему и наименьшему его значению становится одинаковой.

Рис. 6. Характер изменения доминирующего диаметра (а) и кривая распределения размеров заготовок по закону равной вероятности (б)

 

Если распределение по законам Симпсона и равной вероятности рассматривать как отклонение от закона нормального распределения, то можно отразить и количественную сторону этих отклонений с помощью коэффициента , именуемого относительным среднеквадратическим отклонением:

.

(11)

Подставив в эту формулу величины и соответствующие трём законам распределения случайной величины, получим для каждого из них своё значение коэффициенты (табл. 4).

 

Таблица 4. Значения относительного среднеквадратического отклонения

 

Закон распределения
Гаусса		6
Симпсона
Равной вероятности

 

Закону Релея подчиняются случайные погрешности принимающие только неотрицательные значения: радиальное биение цилиндрических поверхностей; отклонения от соосности; торцевое биение; отклонение от параллельности двух плоскостей; отклонение от перпендикулярности двух плоскостей; овальность; конусообразность и др.

 

Распределение по закону Релея формируются, в частности, когда случайная величина r представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин и (рис. 7, а)

Каждая из случайных величин и подчиняется закону Гаусса с параметрами:

Дифференциальный закон распределения Релея:

(12)

 

Кривая закона Релея (рис 7, б) по внешнему виду напоминает кривую Гаусса, но ее начало совпадает с началом координат и ее вершина смещена в сторону начала координат. Среднее арифметическое значение и среднеквадратическое отклонение и поле рассеяния соответственно равны:

= 1,253 ; = 0,655 ; = 3,44

 

Рис. 7. Характер изменения доминирующего диаметра (а) и кривая распределения размеров заготовок по закону Релея (б)

 

При обработке заготовок на настроенных станках на точность их размеров одновременно воздействуют разные факторы, вызывающие появление, как случайных погрешностей, так и систематических постоянных и переменных погрешностей. В подобных случаях закон распределения размеров обработанных заготовок представляет собой композицию нескольких законов распределения. Например, композиционный закон Гаусса и равной вероятности наблюдается в тех случаях, когда наряду с множеством случайных факторов, дающих в совокупности нормальный закон, на погрешность размеров оказывает влияние систематический доминирующий фактор, равномерно изменяющийся во времени. Композиция законов Гаусса и равной вероятности создает симметричные кривые распределения различной формы, зависящей от степени воздействия на конечное распределение каждого из соответствующих законов. Если доминирующий систематический фактор неравномерно изменяется во времени, то форма кривой распределения становится несимметричной. Наличие переменных систематических погрешностей Δ_сист приводит к расширению поля суммарного рассеяния размеров заготовок

 

Δсист.