Типовой расчёт
Производная и дифференциал функции двух переменных.
Исследование функции двух переменных.
Образец решения типового расчёта.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Решение. Очевидно, аналитическое выражение, задающее данную функцию, имеет смысл тогда и только тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю: 
. Уравнение 
задаёт на координатной плоскости 
параболу 
, вершина которой находится в точке 
, ветви направлены влево, а осью симметрии является ось абсцисс. Таким образом, областью определения данной функции являются все точки координатной плоскости, кроме тех, что лежат на параболе .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
.
Решение. 
.
2.2. 
.
Решение. 
.
2.3. 
.
Решение. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь находим производные второго порядка по переменным 
и 
:
.
Находим смешанные производные:
.
Задание 4. Найти производную функции 
в точке 
по направлению вектора 
.
Решение. Производная функции 
по направлению вектора 
равна:
, где 
направляющие косинусы вектора .
Находим частные производные данной функции:
.
Находим значения частных производных в точке :
.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Окончательно получим:
.
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке 
.
Решение. Градиент функции двух переменных равен 
.
Найдём частные производные:
.
Найдём значения частных производных в точке :
.
Тогда градиент равен 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Найдём частные производные данной функции:
.
Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того, чтобы найти критические (стационарные) точки функции, решим систему уравнений:
Получили одну стационарную критическую точку 
. Для того, чтобы выяснить, является ли она точкой экстремума, найдём производные второго порядка.
.
Найдём дискриминант: 
где 
.
В данном случае, 
. В данной точке экстремума нет.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии 
.
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Выразим из уравнения связи 
переменную : 
. Далее рассмотрим оба возможных случая.
1) 
. Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной 
. Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при 
.
. Очевидно, 
при любых значениях переменной , и поэтому наибольшее и наименьшее значение достигается в концах отрезка.
.
2) 
. Подставляя это выражение в исходную функцию, получим функцию одной переменной 
. Исследуем эту функцию на наибольшее и наименьшее значение при .
. Получили две стационарные критические точки. Найдём значения функции в этих точках и на концах отрезка.
.
Таким образом, 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Решение. Прежде всего, заметим, что данная функция непрерывна в рассматриваемой области. Найдём критические (стационарные) точки функции, принадлежащие указанной области. Частные производные первого порядка 
непрерывны в данной области. Составим систему уравнений:
Получили одну стационарную критическую точку 
. Найдём значение функции в этой точке: 
. Далее, последовательно найдём значения функции на всех границах области.
1) 
. Функция принимает вид 
. Тогда 
.
2) 
. Функция принимает вид 
. Тогда 
.
3) 
. Функция принимает вид . Тогда 
.
4) 
. Функция принимает вид 
. Тогда 
.
Получили: 
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
Решение. Воспользуемся приближённым равенством 
.
Отсюда 
.
Рассмотрим функцию 
. Найдём полный дифференциал этой функции:
.
Примем 
. Тогда получим:
. (Вычисление с помощью микрокалькулятора даёт результат 7,916).
Вариант № 1.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции 
в точке 
по направлению вектора 
.
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке .
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 2.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора 
.
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке .
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 3.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке 
по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 4.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции 
в точке 
по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 5.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 6.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол 
.
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 7.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол 
.
Задание 5. Найти градиент функции в точке 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 8.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол 
.
Задание 5. Найти градиент функции в точке 
.
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области 
.
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 9.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке .
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии 
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 10.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: 
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. 
; 2.2. 
; 2.3. 
.
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: 
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол 
.
Задание 5. Найти градиент функции 
в точке .
Задание 6. Исследовать функцию 
на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции 
при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения 
.
Вариант № 11.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 12.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 13.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 14.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 15.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
