Нехай функція 
диференційовна на проміжку X, а 
- її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції і позначається одним із символів: 
Так у фізиці, якщо 
- закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то 
є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t. Аналогічно 
і т. д.
Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної 
-го порядку і позначається 
, або 
, або 
Зауваження. При 
, похідну n -го порядку позначають відповідно 
; при 
позначають: 
або 
.
Формула Лейбніца. Якщо функції 
, 
мають похідні до n -го порядку включно, то для обчислення похідної n -го порядку від добутку цих функцій використовують формулу Лейбніца:
.
Диференціалом другого порядку (second differential)функції в точці x називається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім 
) і позначається 
; 
За означенням маємо 
позначають 
. Таким чином 
.
Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається 
), n =2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто 
. При цьому справедлива формула: 
15 Теорема Ферма.
Если функция у = f (х), определенная в интервале (а; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0. Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс
Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [ а; b ] и дифференцируемая в интервале (а; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.
Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).
Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [ а; b ] и дифференцируема в интервале (а; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что 
Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ. 
Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.
Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [ а; b ];
2) дифференцируемы в интервале (а; b);
3) g' (x) ≠ 0 в этом интервале,
то в интервале (а; b) существует такая точка с, что имеет место равенство
16 формула Тейлора
изображающая функцию f (x), имеющую n -ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х — а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n [то есть Rn (x) = an (x)(x — a) n, где an (x) → 0 при х → а ]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то Rn (x)можно представить в видах:
,
где ξ и ξ1 — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а Соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Правило Бернулі-Лопіталя
Правило говорить, що якщо функції 
і 
задовольняють такі умови:
-
або 
; -
; -
в проколотому околі 
; - Якщо і — диференційовані в проколотому околі ,
то існує 
. При цьому теорема вірна і для інших баз
