Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна

Властивості

Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу (а, b), то вона називається

неперервною на цьому інтервалі.

Функція неперервна на відрізку [ а, b ], якщо вона неперервна на (а, b) і, крім того,

неперервна справа в точці а і зліва в точці b.

Сформулюємо теореми про неперервні функції.

Теорема 1 (перша теорема Больцано-Коші). Якщо функція y = f (x)

неперервна на відрізку [ а; b ] і на його кінцях набирає значень різних знаків, то

всередині відрізка [ а; b ] знайдеться хоча б одна точка x = c, в якій функція

дорівнює нулю.

Теорема 2 (друга теорема Больцано-Коші). Нехай функція y = f (x)

неперервна на відрізку [ а; b ] і набуває на його кінцях різних значень: f (a) =/ f (b).

Тоді для довільного числа и є [ f (a); f (b)] знайдеться таке число c (a; b), що

f (c) є и.

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Якщо функція y  f (x) неперервна на відрізку

[ а; b ], то серед її значень на цьому відрізку існує найбільше і найменше.

8) Якщо хоча б одна з умов неперервності функції в точці не виконується, то

функція розривна в точці x 0, а саму точку x 0 називають точкою розриву функції.

Класифікація точок розриву проводиться таким чином:

1) якщо існують лівостороння і правостороння границі функції в точці , тобто ,

, де a і b –скінченні числа, причому а не дорівнює b, то точку x 0 називають точкою розриву першого роду; відмітимо, що в точці

x 0 сама функція може бути як визначена так і невизначена;

2) якщо хоча б одна з границь , не існує або дорівнює

нескінченості, то точку x 0 називають точкою розриву другого роду, в точці x 0

функція робить “нескінченний стрибок”

3) якщо , , f(x0)≠a або в цій точці функція

невизначена, то точку x 0 називають усувною точкою розриву

9 ) Похідною функції y = f(x) у точці Х називають число, до якого прямує відношення
Похідну функції f(x) позначають f'(x).

Фізичний зміст похідної. Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом S = S(t), то швидкість її руху v(t) у момент t дорівнює похідній S'(t): v(t) = S'(t)

Геометричний зміст похідної: значення похідної функції y = f(x) у точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀:
y' = f'(x₀) = k = tgα.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

10) Основні правила диференціювання.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю.

y = c, то y΄ = 0

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

Теорема 3 Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

Теорема 4 Сталий множник виносимо за знак похідної

(cu)΄ = cu΄, де c = const

Теорема 5 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу

11 ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

12) Похідна складеної функції