Для исследования системы на устойчивость по амплитудно-фазовому критерию устойчивости с помощью логарифмических частотных характеристик необходимо кроме ЛАЧХ построить еще логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ). По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (используют ту же ось частот, что и для построения ЛАЧХ), а по оси ординат откладывают аргумент амплитудно-фазовой характеристики φ(ω) в градусах или в радианах в линейном масштабе. ЛФЧХ рассчитывается по формуле
Φз(ω) = -1,57- arctg(Tуω) - arctg(Tкзω) - arctg(Tдω)
Φз(ω) = -1,57 – arctg(0.06ω) – arctg(0.28ω) – arctg(0.027ω)
Ниже приведена таблица для построения ЛФЧХ заданной системы.
| w | lg(w) | j(w) |
| 0,0001 | -4 | -1.57 |
| 0,001 | -3 | -1.57 |
| 0.01 | -2 | -1.574 |
| 0.1 | -1 | -1.607 |
| 0.5 | -0.3 | -1.753 |
| -1.93 | ||
| 0.7 | -2.947 | |
| 5,5 | 0,75 | -3.032 |
| 0,85 | -3.254 | |
| -3.603 | ||
| 1.3 | -4.337 | |
| 1.4 | -4.577 | |
| 1.47 | -4.769 | |
| 1,54 | -4.925 | |
| 1,6 | -5.054 |
График ЛФЧХ заданной системы приведен в Приложении 4.
Так как ЛАЧХ пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФЧХ пересекает прямую (– 
), то заданная система устойчива.
Определяем по графику запас устойчивости по фазе: θ = 31.5º.
Построение желаемой ЛАЧХ
При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три области: область низких частот, область средних частот и область высоких частот. Вид ЛАЧХ в каждой из областей по-разному влияет на качество системы. В области низких частот вид ЛАЧХ определяет точность работы системы в установившихся режимах. Область средних частот определяет динамические свойства системы. Вид ЛАЧХ в области высоких частот практически мало влияет на качество системы.
Последовательность построения желаемой ЛАЧХ:
Таблица 1
| ωm, % | |||||||
| tpωc/ | 4,4 | 3,6 | 3,2 | 3,0 | 2,8 | ||
| L1, дБ | 13,5 | 10,5 | |||||
| θ, гр. |
1.По таблице 1 определяем tpwc/p=3,2, откуда следует
wс=3,2p/tp=3,2∙3.1416/2=5,027 с-1 lgwc=lg5,027=0,701
Наносим на ось абсцисс частоту среза wс и проводим через нее прямую линию с наклоном –20дБ/дек. Частота w2, ограничивающая область средних частот желаемой ЛАЧХ слева определяется величиной отрезка L1=20. Частота w5 ограничивает область средних частот справа.
В области высоких частот желаемая ЛАЧХ строится в виде прямолинейного отрезка с наклоном –80 дБ/дек.
В области низких частот желаемая ЛАЧХ строится следующим образом. По заданной величине коэффициента усиления системы Кс определяем величину LА=20lgКс=20lg100=40 и отмечаем на чертеже точку А с координатами wА=1с-1 и LA. Через точку А проводим линию с наклоном -20 дБ/дек. Сопряжение частей характеристики области средних частот и области низких частот проводится прямой линией с наклоном –40 дБ/дек.
В задании на разработку указана максимально допустимая ошибка слежения Хmax при условии, что входной сигнал может изменяться с максимальной угловой скоростью w0max и максимальным угловым ускорением e0max, для выполнения этого требования необходимо, чтобы желаемая ЛАЧХ не попала в запретную область.
Построение запретной области.
Отмечаем на чертеже точку с координатами:
Lg(ωB)=lg(0.04)=-1.398
От точки В вправо проводим прямую линию с наклоном –40 дБ/дек, а влево – прямую линию с наклоном –20 дБ/дек.
ЛАЧХ, построенная по заданному коэффициенту Кс=100, попадает в запретную область, поэтому для обеспечения заданной точности слежения нужно увеличить коэффициент Кс, т.е. поднять желаемую ЛАЧХ так чтобы она не попадала в запретную область.
По виду желаемой ЛАЧХ (рис.3) записываем передаточную функцию
Исследование системы на устойчивость по амплитудно-фазовому критерию устойчивости с помощью логарифмических частотных характеристик.
jж(w)= - 90 – arctgТ1w - 3arctgT5w + arctgT2w =
= - 90 – arctg14.125w - arctg0.027w + arctg0.708w (гр)
Результаты сведены в табл.1
Таблица1.
| w | lg(ω) | j(w) |
| 0,0001 | -4 | -1.571 |
| 0,001 | -3 | -1.583 |
| 0.01 | -2 | -1.704 |
| 0.1 | -1 | -2.462 |
| 0.5 | -0.3 | -2.7 |
| -2.535 | ||
| 0.7 | -2.234 | |
| 5,5 | 0,75 | -2.251 |
| 0,85 | -2.319 | |
| -2.494 | ||
| 1,3 | -3.122 | |
| 1,4 | -3.405 | |
| 1,47 | -3.657 | |
| 1,54 | -3.88 | |
| 1,6 | -4.075 |
График ЛФЧХ скорректированной системы представлен в Приложении4. Так как ЛАЧХ пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФЧХ пересекает прямую –p, то желаемая система устойчива. Определяем по графику запас устойчивости по фазе: θ = 0.55рад или 31,53º
Из графика (рис.3) видно, что система устойчива и запас устойчивости не меньше заданного.
