Передаточная функция замкнутой САР равна

Переходные характеристики, соответствующие этому случаю, построены в нормированном виде на рис. 2.2 и по оси времени откладывается относительное время t = wt.

Рис.2.2

Оптимальный переходный процесс связан с минимизацией какого-либо оптимизирующего функционала, простейшим из которых является квадратичный

I₁ = ,

позволяющий рассчитать регулятор на минимум среднеквадратичной ошибки. При этом характеристические уравнения замкнутой САР для n = 1 ÷ 4 имеют вид:

p + w₀

p² + w₀ p + w₀²

p³ + w₀ p² + 2 w₀² p +w₀³

p⁴ + w₀ p³+ 3 w₀² p² + 2 w₀³ p + w₀⁴

Переходные характеристики замкнутой САР, настроенной на минимум среднеквадратичной ошибки, построены на рис. 2.3.

Рис.2.3.

Более сложный оптимизирующий функционал, который учитывает сходимость переходного процесса, для n = 1 ¸ 4 выглядит следующим образом:

n = 2

n = 3

n = 4 ,

где t_i - весовые коэффициенты, имеющие размерность времени.

В этом случае корни характеристического уравнения на комплексной плоскости при одинаковости углов располагаются на полуокружности радиуса w₀. Впервые такое расположение корней было предложено Баттервортом. Характеристические уравнения замкнутой САР для n = 1 ¸ 4 имеют вид:

p + w₀

p² + w₀ p + w₀²

p³ + 2w₀ p² + 2 w₀² p + w₀³

p⁴ + 2,6 w₀ p³ + 3,4 w₀² p² + 2,6 w₀³ p + w₀⁴

Переходные характеристики замкнутой САР с распределением корней в форме Баттерворта построены на рис. 2.4 и по сравнению с характеристиками биномиальных форм имеют незначительную колебательность и меньшее время регулирования. Во многих случаях они соответствуют интуитивному представлению об оптимальном переходном процессе. В электроприводе такая настройка регуляторов получила название оптимум по модулю.