Выбор и расчет параметров регуляторов

Задача №1

В системе автоматического регулирования частоты вращения электродвигателя (рис.1) используются элементы, параметры которых приведены в таблице 1. Для всех вариантов электродвигатель имеет следующие параметры: U_н = 220 В, ω_н = 78,5 рад/с, 2р = 4. Диапазон регулирования частоты вращения D = 10.

Рис.1 Принципиальная схема САР частоты вращения двигателя:

М – двигатель BR – тахогенератор

СИФУ – система импульсно-фазового управления преобразователя

UZ – тиристорный преобразователь (силовая часть)

CУ – сравнивающее устройство

РЧВ – регулятор частоты вращения U₀ – заданное значение

Таблица 1

Вариант	Двигатель	Тиристорный преобразователь	Тахогенератор	Потенциометр	Точность регулирования
I_н, А	R_я, Ом	L_я, Гн	J_я, кг м²	J_н / J_я	T_ТП, с	K_ТГ, В с/рад	K_П	δ, %
		0,018	8,5			0,006	0,2	0,8	1,5
		0,038				0,007	0,2	0,8
		0,057				0,008	0,2	0,8	1,5
		0,078				0,006	0,2	0,8
		0,089				0,007	0,2	0,8	0,5
		0,11				0,008	0,2	0,8	1,5
		0,12		10,5		0,006	0,2	0,8
		0,13				0,007	0,2	0,8	0,5
		0,11				0,008	0,2	0,8	1,5
		0,099		10,6		0,009	0,2	0,9

1.Составить дифференциальное уравнение, передаточную функцию и структурную схему САР при неизменном потоке возбуждения и изменении момента сопротивления на валу двигателя.

2.Рассчитать коэффициент передачи регулятора скорости (РС), обеспечивающего статическую ошибку САР меньше заданной на всем диапазоне регулирования при изменении нагрузки на валу от 0,5 до 1,5 М_н.

На рис. 2 представлена схема регулирующего усилителя на основе операционного усилителя с набором резисторов и конденсаторов. В схеме усилителя клеммы 8a и 8c соединены. Для рассчитанного коэффициента передачи РС выбрать необходимые резисторы из таблицы 2 и произвести соединения этих резисторов с клеммой TA.

Рис.2 Принципиальная схема регулирующего усилителя

Таблица 2. Значения сопротивлений резисторов и емкости конденсаторов в типовой схеме регулятора

п/п	Резистор	Сопротивление	Конденсатор	Емкость
	R1	68,1 Ом	C1	22 нФ
	R2	10 кОм	C2	68 нФ
	R3	22,1 кОм	C3	0,22 мкФ
	R4	47,5 кОм	C4, С20	0,47 мкФ
	R5	100 кОм	C5	1,0 мкФ
	R6	221 кОм	C6	2,2 мкФ
	R7	475 кОм	C7	4,7 мкФ
	R8	1 Мом	C8	10 мкФ
	R9	2,2 Мом	C9	10 мкФ
	R10	3,9 Мом	C10	470 пФ
	R11	10,0 Мом	C15	33 пФ
	R12	22 Мом	C16, С19	0,68 мкФ
	R13	100 Ом	C17	33 нФ
	R21, R23	8,2 кОм	С18	0,33 нФ
	R22, R24	6,8 кОм	С21	0,22 мкФ
	Операционный усилитель	101А

Задача №2.

В системе автоматического регулирования частоты вращения электродвигателя (рис.3) используются элементы, параметры которых приведены в таблице 3. Для всех вариантов электродвигатель имеет следующие параметры U_н = 220 В, ω_н = 78,5 рад/с, 2р = 4; 2а = 2. Коэффициент передачи тахогенератора К_тг = 0,15 В^.с/рад.

Диапазон регулирования частоты вращения D = 1.

Рис.3. Принципиальная схема САР частоты вращения электродвигателя

Таблица 3

Вариант	Двигатель	Тиристорный преобразователь	Точность регулирования
I_н, А	r_я, Ом	r_в, Ом	w_я	w_в	I_вн, А	J, кгм²	T_ТП, с	δ, %
		0,018	19,5			11,3		0,006	0,5
		0,038				10,5		0,007
		0,057				9,21		0,008	0,5
		0,078				7,88		0,006
		0,089	32,5			6,77		0,007	0,5
		0,11	37,8			5,82		0,008	1,5
		0,12	48,4			4,55		0,006
		0,13	35,8			6,15		0,007	0,5
		0,11	40,4			5,45		0,008	1,5
		0,099	42,1			5,23		0,009

1.Составить дифференциальное уравнение, передаточную функцию и структурную схему САР при постоянном токе якоря и изменении момента сопротивления на валу двигателя.

2.Рассчитать коэффициент передачи регулятора частоты вращения (РЧВ), обеспечивающего статическую ошибку САР меньше заданной во всем диапазоне регулирования при изменении момента сопротивления на валу от 0,8 до 1,2 М_н. Выполнить расчет параметров РЧВ на основе регулирующего усилителя (рис.2) аналогично задаче 1.

Задача 3. В системе автоматического регулирования напряжения генератора (рис.4) используются элементы, параметры которых приведены в таблице 4. Во всех вариантах генератор имеет следующие параметры: U_н = 220 В, ω_н = 78,5 рад/с, 2р = 4; 2а = 2. Коэффициент передачи датчика напряжения R2 К_ф = 0,4. Диапазон регулирования D = 1.

Рис.4. Принципиальная схема САР напряжения генератора

Таблица 4

Вариант	Генератор	Тиристорный преобразователь	Фильтр	Точность регулирования
I_н, А	r_я, Ом	w_я	r_в, Ом	I_вн, А	w_в	L_н, мГн	T_ТП, с	Т_ф, с	δ, %
		0,018		19,5	11,3		0,92	0,006	0,01	0,5
		0,038			10,5		1,34	0,007	0,015
		0,057			9,21		2,34	0,008	0,01	0,5
		0,078			7,08		5,20	0,006	0,015
		0,089		32,5	8,77		8,3	0,007	0,02	0,5
		0,11		37,8	5,02		8,9	0,008	0,01	1,5
		0,12		48,4	4,55		9,3	0,006	0,015
		0,13		35,8	6,15		10,5	0,007	0,02	0,5
		0,11		40,4	5,45		9,2	0,008	0,01	0,5
		0,099		42,1	5,23		7,45	0,009	0,015

1.Составить дифференциальное уравнение, передаточную функцию и структурную схему при неизменной частоте вращения и изменении сопротивления нагрузки генератора.

2.Рассчитать коэффициент передачи регулятора напряжения (РН), обеспечивающего статическую ошибку САР меньше заданной во всем диапазоне регулирования при изменении сопротивления нагрузки генератора от 1,0 до 5,0 τ_н. Представить принципиальную схему РН на основе операционного усилителя.

Задача 4. В системе автоматического регулирования тока генератора (рис.5) используются элементы, параметры которых приведены в таблице к задаче 3. Коэффициент передачи датчика тока указан в таблице 5.

Рис. 5. Принципиальная схема САР тока генератора

R2 – датчик тока (измерительный шунт)

Таблица 5. Значения коэффициента передачи датчика тока

Вариант
К_ДТ, мВ/А	1,2	1,4	1,8	1,9	2,2	2,7	3,1	3,4	3,5	3,8

1.Составить дифференциальное уравнение, передаточную функцию и структурную схему САР при неизменной частоте вращения и изменении напряжения на нагрузке.

2.Рассчитать коэффициент передачи регулятора тока (РТ), обеспечивающего статическую ошибку САР меньше заданной во всем диапазоне регулирования при изменении напряжения на нагрузке от 1,0 до 5,0 τ_н. Представить принципиальную схему РТ на основе операционного усилителя.

МЕТОДИКА РАСЧЕТА САР

ЗАДАЧА 1

1.Уравнение равновесия напряжений якорной цепи двигателя:

(1)

где 𝛥i_я(p) изображение тока якоря двигателя

r_я = r_яд + r_тп + r_др - полное сопротивление якорной цепи двигателя;

r_яд - сопротивление якорной цепи двигателя;

r_тп - сопротивление тиристорного преобразователя, включающее приведенное активное сопротивления обмотки трансформатора и дифференциальное сопротивление тиристоров;

r_др - сопротивление сглаживающего дросселя;

L_я = L_яд + L_тр + L_др - суммарная индуктивность якорной цепи двигателя;

индуктивность якоря двигателя;

L_др - индуктивность сглаживающего дросселя;

- приращение ЭДС двигателя.

Уравнение равновесия моментов двигателя:

, (2)

где - приращение момента двигателя;

- приращение момента сопротивления;

J = J_я+ J_н - сумма момента инерции двигателя и нагрузочного механизма.

Решая систему уравнений (1) и (2) относительно и вводя постоянные времени цепи якоря Т_я и электромеханическую Т_эм, получим:

(3)

где T_я = L_я / r_я – постоянная времени цепи якоря;

– электромеханическая постоянная времени;

- коэффициент передачи двигателя по управлению;

- коэффициент передачи двигателя по возмущению.

Уравнение тиристорного преобразователя, работающего в режиме непрерывного тока, упрощенно можно записать так:

(4)

где T_ТП = τ +T_ф - эквивалентная постоянная времени тиристорного преобразователя;

T_ф - постоянная времени фильтра;

- среднестатическое запаздывание преобразователя, связанное с числом фаз сети m и частотой f;

- коэффициент передачи ТП по управлению (рис.5).

Для системы управления, имеющей пилообразную форму опорного напряжения с максимальным опорным напряжением 12 В, и мостовой трехфазной схемы ТП

k_ТП = 39,1 sinα

Уравнения тахогенератора и потенциометра

𝛥u_ТГ(p) = k_ТП 𝛥ω_ТГ(p) (5)

𝛥u_П(p) = k_П 𝛥u_ТГ(p) (6)

где k_ТГ - коэффициент передачи тахогенератора;

k_П - коэффициент передачи потенциометра.

Регулятор скорости осуществляет пропорциональный закон регулирования, и его уравнение

(7)

где u_су – выходное напряжение сравнивающего устройства

u_у – выходное напряжение регулятора скорости

k_р – коэффициент передачи регулятора скорости

Решая систему уравнений (1) – (7) и исключая промежуточные переменные величины, получим уравнение разомкнутой системы:

(8)

Передаточная функция разомкнутой системы по управлению

(9)

где k_Σ = k_д k_ТП k_р k_П k_ТГ - коэффициент передачи системы.

Передаточная функция по возмущению

(10)

Уравнение замкнутой системы получим, если в уравнении (8) положим

(11)

На рис.6 приведена структурная схема, построенная по уравнениям отдельных звеньев системы.

Рис.6. Структурная схема САР частоты вращения двигателя

2. Найдем изменение частоты вращения для установившегося режима, положив p = 0,

в разомкнутой САР по уравнению (8), ,

а в замкнутой САР по уравнению (11) .

Для обеспечения заданной точности поддержания постоянства частоты вращения электродвигателя на всем диапазоне регулирования коэффициент передачи системы определяется из условия работы на минимальной частоте вращения ω_min. Тогда связь между максимальным коэффициентом передачи системы k_Σ, требуемой точностью δ и диапазоном регулировании D частоты вращения электродвигателя, будет

(12)

где - относительное изменение частоты вращения электродвигателя в разомкнутой системе, вызванное изменением его нагрузки ;

- диапазон регулирования частоты вращения.

Коэффициент усиления регулятора скорости

(13)

Статическую ошибку САР меньше заданной позволяет получить пропорциональный регулятор. Схема стандартного регулирующего усилителя на основе операционного усилителя приведена на рис.2. Выбрать необходимые резисторы для полученного значения коэффициента передачи регулятора можно по номинальным данным сопротивлений резисторов, которые приведены в таблице 3.

3.Характеристическое уравнение замкнутой системы регулирования

общий вид уравнения после раскрытия скобок:

a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0

где a₀ = T_я T_эм T_ТП; a₁ = T_я T_эм + T_эм T_ТП

a₂ = T_эм + T_ТП; a₃ = 1 + k_Σ

Для устойчивости линейной системы третьего порядка в соответствии с критерием Гурвица необходимо и достаточно, чтобы:

а) коэффициенты характеристического уравнения были положительны:

a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃ > 0

б) выполнялось неравенство:

a₁a₂ – a₀a₃ > 0

Система находится на грани устойчивости, если

a₁a₂ – a₀a₃ = 0

Подставив значения коэффициентов, получим:

ЗАДАЧА 2

1.Уравнения равновесия напряжения возбуждения двигателя

(14)

(15)

где r_в - сопротивление обмотки возбуждения двигателя;

w_в - число витков обмотки возбуждения;

- коэффициент пропорциональности между потоком и магнитодвижущей силой.

Определяется по универсальной кривой намагничивания двигателей постоянного тока (рис.8), которая построена в относительных единицах; за базовые приняты номинальные значения,

Номинальный поток определяется по выражению:

где - конструктивная постоянная двигателя.

Уравнение равновесия моментов двигателя:

где k I_я ΔФ_д(p) - приращение моментов двигателя;

- приращение момента сопротивления.

Решая систему уравнения (14), (15) и (16) относительно Δω_д(p) и вводя постоянную времени возбуждения Т_в, получим:

, (18)

где – постоянная времени обмотки возбуждения

- коэффициент передачи двигателя по управлению.

Уравнения тиристорного преобразователя, тахогенератора, потенциометра и регулятора скорости смотри в задаче 1.

Решая систему уравнений (4) - (7) и (17), и исключая промежуточные переменные, получим уравнение разомкнутой САР:

Передаточная функция разомкнутой системы по управлению

где - коэффициент передачи системы.

Передаточная функция по возмущению

где - коэффициент передачи двигателя по возмущению.

Уравнение замкнутой системы получим, если в уравнении (18) положим

(19)

На рис.9 приведена структурная схема САР, построенная по уравнениям отдельных звеньев системы.

Рис.9. Структурная схема САР частоты вращения двигателя

2. Найдем изменение частоты вращения 𝛥𝜔_д для установившегося режима, положив p = 0, в замкнутой САР по уравнению (19):

Относительная статическая ошибка регулирования, определенная из условия работы на минимальной частоте вращения ω_min,

Необходимый коэффициент передачи системы

, а коэффициент усиления регулятора скорости

(20)

3. Характеристическое уравнение замкнутой САР

(21)

Общий вид уравнения после раскрытия скобок:

где ; ; ;

Заменяя в характеристическом уравнении (21) замкнутой системы регулирования оператор p = j𝜔, получим выражение для характеристической кривой Михайлова:

Задаваясь значениями частоты от ω = 0 до ω = ∞ и вычисляя вещественную и мнимую части характеристического вектора, строим по точкам кривую Михайлова. Если кривая, начинаясь с вещественной оси пересекает последовательно n квадрантов (в данном случае n = 3), то САР устойчива.

Если кривая Михайлова в своем движении проходит через начало координат, то система находится на грани устойчивости, и, следовательно, критический коэффициент передачи можно определить так:

Из второго уравнения найдем критическую частоту:

Подставив полученное выражение в первое уравнение, получим:

(22)

ЗАДАЧА 3

При составлении уравнений генератора реакцией якоря, нелинейностью характеристики, влиянием вихревых токов и компенсационных обмоток пренебрегаем.

Уравнение равновесия напряжений якорной цепи генератора:

(23)

Уравнение цепи нагрузки генератора:

(24)

Исключая промежуточную переменную – ток якоря – получим уравнение напряжения генератора:

(25)

или

где r_я, r_н, L_я, L_н - сопротивления и индуктивности якорной цепи генератора и нагрузки, соответственно.

- эквивалентная постоянная времени якорной цепи

Уравнения цепи обмотки возбуждения:

Решая совместно, получим:

(26)

где - постоянная времени обмотки возбуждения;

- коэффициент передачи генератора по возбуждению;

𝛽 - коэффициент пропорциональности между потоком и магнитодвижущей силой (смотри задачу 2).

Уравнение RC-цепи (фильтра):

(27)

где T_ф = RC - постоянная времени фильтра.

Уравнения тиристорного преобразователя, потенциометра и регулятора напряжения смотри в задаче 1.

Решая систему уравнений (23-25), (4), (6) и (7) и исключая промежуточные переменные, получим уравнение разомкнутой системы:

(28)

где k_Σ = k_г k_ТП k_р k_П - коэффициент передачи системы.

Передаточная функция разомкнутой системы по управлению

(29)

Передаточная функция по возмущению

Уравнение замкнутой системы получим, если в уравнении (28) положим

(30)

Характеристическое уравнение замкнутой САР

где коэффициенты характеристического уравнения a₀, a₁, a₂ и а₃ определяются из уравнения

На рис.10 приведена структурная схема, построенная по уравнениям отдельных звеньев системы.

Рис.10. Структурная схема САР напряжения генератора

2. Найдем изменение напряжения генератора 𝛥u_г(p) для установившегося режима, положив p = 0, в замкнутой САР по уравнению (30):

Относительная статическая ошибка регулирования, определенная из условия работы при минимальном напряжении

Необходимый коэффициент передачи системы

а коэффициент усиления регулятора напряжения

(31)

3.Для определения устойчивости системы частотным критерием Найквиста необходимо построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой САР. Заменяя в (29) p = j получим комплексный коэффициент передачи:

где

Построим характеристику по отдельным звеньям системы:

где

Так как САР состоит из устойчивых звеньев, соединенных последовательно и, следовательно, разомкнутая система устойчива, то замкнутая система будет устойчива, если АФЧХ не охватывает критическую точку с координатами (-1, j0).

Критический коэффициент передачи системы

где ω_π - частота, при которой АФЧХ пересекает отрицательную вещественную ось.

ЗАДАЧА 4

1.При составлении уравнений генератора, реакцией якоря, нелинейностью характеристики, влиянием вихревых токов и компенсационных обмоток пренебрегаем.

Уравнение равновесия напряжения якорной цепи генератора (23) и уравнение цепи нагрузок генератора (24) решаем относительно тока якоря:

Преобразовав уравнение генератора, получим:

(32)

Уравнения цепи возбуждения генератора (26), тиристорного преобразователя (4), регулятора тока (7) получены ранее; уравнение датчика тока

(33)

Решая системы уравнений (4), (7), (26), (32), (33) относительно тока якоря, получим уравнение разомкнутой системы:

(34)

Передаточная функция разомкнутой системы по управлению

где - эквивалентная постоянная времени;

- коэффициент передачи САР;

L_я - индуктивность якоря генератора определяется по уравнению (1).

Передаточная функция по возмущению

где - коэффициент передачи генератора по возмущению.

Уравнение замкнутой системы получим, приравняв

(36)

На рис.11 приведена структурная схема, построенная по уравнениям отдельных звеньев системы.

Рис.11. Структурная схема САР тока генератора

2. Найдем изменение тока генератора для установившегося режима, положив p = 0, в замкнутой САР по уравнению (36):

Относительная статическая ошибка регулирования, определенная из условия работы при максимальном токе,

Коэффициент передачи системы, необходимый для поддержания заданной точности.

а коэффициент усиления регулятора тока

3. Так как система состоит из последовательно включенных устойчивых звеньев и не содержит внутренних обратных связей, то в разомкнутом состоянии она будет устойчивой.

Для определения устойчивости в замкнутом состоянии необходимо построить логарифмические амплитудные и фазовые характеристики разомкнутой САР, которые строятся по передаточной функции (35).

ЛАЧХ определяется выражением:

где ; ;

;

Фазовая характеристика определяется выражением:

где ;

Замкнутая система устойчива, если фазовая характеристика разомкнутой системы не пересекает прямую φ(ω) = -π при L(ω)>0.

Критический коэффициент передачи системы

где - частота, при которой ЛФЧХ пересекает прямую φ(ω) = -π.

ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ.

Выбор автоматического регулятора и расчет его параметров производится следующим образом. Система автоматического регулирования (САР) делится на неизменяемую часть с передаточной функцией W_н (s) и автоматический регулятор с передаточной функцией W_р (s), которые соединены последовательно и охвачены единичной отрицательной обратной связью (рис. 2.1).

Рис.2.1. Структурная схема САР с единичной обратной связью

В неизменяемую часть системы входят элементы с известным математическим описанием, включая объект регулирования. Передаточная функция регулятора выбирается по методу последовательной коррекции. Его параметры рассчитываются так, чтобы компенсировать наибольшие постоянные времени и получить переходную характеристику стандартного типа.

При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным расположением корней характеристического уравнения замкнутой САР

A(p) = pⁿ + A₁ w₀ p^n-1 + A₂w₀² p^n-2 +... + w₀ⁿ = 0,

где w₀ - среднегеометрический корень, определяющий быстродействие системы (чем больше w₀, тем меньше время регулирования).

Если принять все корни равными и вещественными, то это характеристическое уравнение приобретает вид

(p + w₀)ⁿ = 0

В этом случае безразмерные коэффициенты A₁, A₂,..., A_n-1 являются коэффициентами бинома Ньютона и для n = 1 ¸ 4 имеют вид:

p + w₀

p² + 2 w₀ p + w₀

p³ + 3 w₀ p² + 3w₀² p + w₀³

p⁴ + 4 w₀ p³ + 6 w₀² p² + 4 w₀³ p + w₀⁴