Скорость и ускорение точки вращающегося тела

Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Вращение- движение тела имеющего 2 неподвижные точки. Прямая проходящая через 2 неподвижные точки называется осью вращения. Положение тела определяет угол поворота Y. При вращение Y изменяется во времени. Y=Y(t) – уравнение вращения.

Угловая скорость = 1 производной угла поворота от времени.

Угловое ускорение = первой производной угловой скорости по времени или 2 производной угла поворота по времени.

Скорость и ускорение точки вращающегося тела.

Модуль скорости точки тела вращающегося около оси = произведению модуля угловой скорости на радиус вращения. V=wR. Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу с учетом направления угловой скорости.

Модуль касательного ускорения = произведению мгновенного углового ускорения на радиус вращения точки. Направлена перпендикулярно радиусу с учетом направления углового ускорения.

Модуль углового ускорения – равен произведению квадрата угловой скорости на радиус вращения точки.

Модуль ускорения точки тела вращающегося около оси = векторной сумме касательного ускорения и касательного ускорения.

Плоское (плоскопараллельное) движение тела – называют движение при котором все точки перемещаются параллельно в некоторой неподвижной плоскости.

Скорость точки тела совершающего плоско параллельное движение = геометрической сумме скорости полюса и скорости точки в движ. около этого полюса.

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела:

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Мгновенный центр скоростей – называют точку связанную ч телом скорость которой в данный момент времени = 0.

Теорема о существовании мгновенного центра скоростей – если угловая скорость тела в плоском движении не равна 0, то МСЦ существует.

Для определения МЦС надо знать только направление скоростей Vа и Vб каких ни будь точек А и Б плоской фигуры (или траектории этих точек); МЦС находиться в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и Б к скоростям этих точек (или касательным к траекториям).

Ускорение точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса и ускорения, которое точка получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Сложное движение точки: в ряде случаев движение материальной точки удобно рассматривать как сложное движение, происходящее в подвижной системе координат и вместе с подвижной СК перемещающаяся относительно абсолютной СК.

Относительным – называется движение мт совершаемое по отношению к подвижной системе отсчета.(r – индекс относительного движения).

Переносным – называется движение совершаемое подвижной системой отсчета (и всеми неизменно связанными с нею точками) по отношению к неподвижной системе. (e- индекс переносного движения).

Абсолютным – называют движение совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета.

Теорема сложения скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносно скоростей.

Теорема Кориолиса сложения ускорений – при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или кориолисова.

Кориолисова ускорение – характеризует изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении.

Основные законы динамики:

Закон инерции: изолированная от внешнего воздействия мт сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить свое состояние.

Основной закон динамики: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Закон равенства действия и противодействия: две материальные точки дейсвуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Две задачи динамики материальной точки:

1. Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу;

2. Зная действующую на нее силу определить закон движения точки.

Принцип Даламбера для материальной точки: Если ко всем реально действующим на точку активным силам и реакциям связи добавить силу инерции, получим уравновешенную систему сил, для которой справедливы все соотношения статики.

Механической системой – называют совокупность взаимодействующих между собой материальных точек, состояние покоя или состояние движения каждое из которых зависит от состояния покоя или состояния движения остальных точек системы.

Масса мех. Системы – называют сумму масс точек входящих в состав мех. системы.(M)

Центр масс: rc = 1/M*сумма mk* rk.

Инерция – способность сохранять состояние покоя или прямолинейное движение.

Момент инерции околооси – называют сумму произведения масс точек системы на квадрат расстояний от точек до оси.

Теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей (Гюйгенса):

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельную, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Осевые моменты простейших тел. (Тарг стр.266)

Центробежные моменты инерции. (Тарг стр.269)

Принцип Даламбера для мех системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

Главный вектор сил инерции механической системы (в частности твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

Главный момент сил инерции мех. системы (твердого тела) относительного некоторого центра О или оси z равен взятому со знаком плюса или минуса производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительного того же центра или той же оси.

· Если тело совершает поступательное движение, совокупность силы инерции частиц тела приводятся к одной силе = гл. вектору силы инерции частиц.

· Для тела, вращающегося около неподвижной оси, совокупность сил инерции частиц заменяется одной результирующей парой. Момент которой = гл.моменту сил инерции.

· Для тела совершающего плоскопараллельное движение совокупность сил инерции складывается из поступательного движения вместе с полюсом и вращения около оси, проходящей через этот полюс. В качестве полюса выбирают центр масс.

 

Элементарная работа силы = скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на любом перемещении = равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

· Работа силы тяжести = взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

· Работа силы упругости = половине произведения коэффициента жёсткости на разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) пружины.

Мощность = произведению касательной составляющей силы на скорость.

Эл. Работа силы действующей на тело вращ. Около оси = произведению момента силы около оси вращения на угол поворота.

Если на тело вращ. Около неподвижной оси действуют пара сил работа и мощность определяются по полученным формулам, но в этих выражениях пишут момент пары сил.

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: изменение кинетической энергии системы на некотором ее перемещении = сумме работ внешних и внутренних сил на том же перемещении системы.

Кинетическая энергия твёрдого тела. Кинетическую энергию твердого тела рассматривают как мех. систему расстояние между частицами которых не изменяется не при каких условия. Равна сумме кинетической энергии всех точек.

· Кин.Э. тела совершающего поступательное движение = половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

· Кин.Э. тела вращающегося около оси = половине произведения квадрата угловой скорости на осевой момент инерции около оси вращения.

· Кин.Э. плоскопараллельного движения = сумме к.э. поступательного движения со скоростью центра масс и к.э. вращательного около оси, проходящей через центр масс.