I. Эллипс. Гипербола. Парабола

Й семестр, зачет

ПРОГРАММА ЗАЧЕТА

I. Эллипс, гипербола, парабола

1. Эллипс и его свойства.

2. Гипербола и ее свойства.

3. Парабола и ее свойства.

4. Директориальные свойства эллипса, гиперболы.

5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

II. Общая теория линий второго порядка

6. Линия второго порядка (ЛВП).

7. Векторы и прямые асимптотического направления относительно линии 2-го порядка, тип линии. Асимптотические направления. Вектор асимптотического направления для линии параболического типа

8. Центр ЛВП. Центральные и нецентральные линии.

9. Касательная к ЛВП. Обыкновенные и особые точки. Уравнение касательной к ЛВП.

10. Диаметр ЛВП, свойства, сопряженные диаметры.

11. Сопряженные направления относительно ЛВП.

12. Главные направления относительно ЛВП

13. Главные диаметры ЛВП, свойства.

III. Поверхности второго порядка в евклидовом пространстве

14. Поверхности вращения.

15. Эллипсоид и его свойства.

16. Однополостный гиперболоид и его свойства.

17. Двуполостный гиперболоид и его свойства

18. Эллиптический параболоид и его свойства.

19. Гиперболический параболоид и его свойства.

20. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

21. Цилиндрические поверхности и их уравнения. Цилиндрические поверхности второго порядка.

22. Конические поверхности и их уравнения. Коническая поверхность второго порядка.

IV. Преобразования плоскости

23. Отображения и преобразование множеств. Примеры. Группа преобразований множества и ее подгруппы.

24. Движения плоскости. Свойства движений плоскости. Примеры. Основная теорема о движении плоскости. Аналитическое задание движения плоскости. Примеры движений 1 и 2 рода.

25. Представление движений в виде композиции осевых симметрий.

26. Группа движений плоскости и ее подгруппы

27. Группа симметрий геометрической фигуры

28. Гомотетия плоскости и ее свойства. Аналитическое задание.

29. Подобия плоскости. Свойства. Примеры. Аналитическое задание. Представление подобия в виде композиции гомотетии и движения.

30. Группа подобий плоскости и ее подгруппы.

31. Аффинные преобразования плоскости. Свойства. Примеры. Основная теорема об аффинных преобразованиях. Аналитическое задание аффинных преобразований плоскости.

32. Перспективно-аффинные преобразования плоскости и их свойства. Сдвиг, косое сжатие и их свойства.

33. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.

34. Приложение преобразований к решению задач элементарной геометрии.

 

ТРЕБОВАНИЯ К ЗАЧЕТУ

 

Теоретическая часть: знание определений, уравнений, формулировок теорем по программе курса.

Практическая часть: умение решать задачи по всем разделам курса; иметь отчетность по всем самостоятельным и контрольным работам, которые проводились в течение семестра.

ПОДРОБНО:

- эллипс (Э), гипербола (Г), парабола (П)

Знать: определения; канонические уравнения; все объекты, связанные с Э, Г, П (эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы, фокусы, большая и малая полуось, фокальное расстояние, фокальный радиус точки).

Уметь: находить канонические уравнения по различным данным, вычислять эксцентриситет, находить уравнения директрис; находить полярные уравнения по каноническим (канонические уравнения по полярным).

- общая теория линий второго порядка (ЛВП)

Знать определения: ЛВП; асимптотического направления, асимптоты, центра, особой и обыкновенной точек, касательной, диаметра, сопряженных диаметров, сопряженных направлений, главных направлений, главного диаметра.

Знать канонические уравнения ЛВП.

Уметь: определять тип ЛВП, вид ЛВП, асимптотическое направление, центр, сопряженные направления, главные направления; находить уравнения асимптот, касательной, диаметра, главного диаметра; строить сопряженные диаметры; общий диаметр двух ЛВП.

- поверхности второго порядка в евклидовом пространстве

Знать определения: эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида, поверхности вращения, цилиндрической поверхности, конической поверхности, прямолинейных образующих поверхности.

Знать канонические уравнения всех поверхностей второго порядка.

Уметь: изображать поверхности второго порядка, по каноническому уравнению определять тип поверхности; составлять канонические уравнения по известным сечениям; находить уравнения прямолинейных образующих.

- преобразования плоскости

Знать определения: отображения множеств, инъективного (сюръективного) отображения, биективного отображения, преобразования множества; группы преобразований и ее подгруппы; движения плоскости; тождественного преобразования, параллельного переноса, поворота (в частности, центральной симметрии), осевой симметрии, скользящей симметрии; инвариантной точки (прямой, фигуры); гомотетии, подобия, аффинного преобразования, перспективно аффинного преобразования, косого сжатия, сдвига.

Знать формулировки теорем: основных теорем о движении и об аффинных преобразованиях (с доказательством!!!), об аналитическом задании движений (аффинных преобразований), о свойствах движений (подобий, гомотетии, аффинных преобразований, перспективно аффинных преобразований), об инвариантных точках и прямых движений; о представлении движения композицией не более чем трех осевых симметрий; о разложении подобия в композицию гомотетии и движения.

Уметь: иллюстрировать определения преобразований, строить образы (прообразы) точек при заданном на чертеже преобразовании; указывать инвариантные точки (прямые) преобразований; по формулам определять вид преобразования, находить элементы, задающие это преобразование; составлять формулы преобразования по известным элементам; находить инвариантные точки (прямые) преобразования; находить образы (прообразы) фигур; приводить примеры подгрупп группы преобразований.

 

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

I. Эллипс. Гипербола. Парабола.

1. По уравнению эллипса 4 x ² + 9 y ² – 36 = 0 определить: а) его полуоси; б) эксцентриситет; в) уравнения директрис; г) расстояние между фокусами; д) расстояние от вершины до ближайшей директрисы.

2. Дано уравнение гиперболы 25 x ² – 4 y ² –100 = 0. Определить а) ее полуоси; б) уравнения асимптот; в) эксцентриситет; г) расстояние между его фокусами; д) уравнения директрис; е) расстояние от вершины до ближайшей директрисы

3. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если ее уравнение имеет вид:

а) y ² – 10 x = 0; б) 2 у ²– 3 х = 0; в) 5 x ² + 4 y = 0.

4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее директрисами равно , а ее эксцентриситет равен .

5. Составить каноническое уравнение параболы, если ее директриса имеет уравнение x +15=0.

6. Найти полярное уравнение кривой, заданной своим каноническим уравнением:

а) ; б) ; в) y²=10x.

7. Написать каноническое уравнение кривой, заданной своим полярным уравнением:

а) ; б) ; в)