Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.4.1. Господин N собирается поместить на некото­рый срок свободные денежные средства либо под сложную про­центную ставку 30% годовых с ежеквартальным

Пример 2.4.1. Господин N собирается поместить на некото­рый срок свободные денежные средства либо под сложную про­центную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните, как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года?

Решение, а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 30% эквивалент­ную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 48%. Используем формулу (81) при

п = 3, т = 4, r⁽⁴⁾ = 03:

= 0,4606.

Так как r = 46,06% меньше 48%, то выгоднее на три года по­местить капитал под простую процентную ставку 48%.

Конечно, можно было найти эквивалентную сложную про­центную ставку для простой ставки 48% по формуле (82): r⁽⁴⁾ = 4( -1) = 0,3087 и поскольку r ⁽⁴⁾ > 30%, прихо­дим, естественно, к такому же выводу.

б) Полагая n = 4, m = 4, r⁽⁴⁾ = 0,3, по формуле (81) получим:

= 0,5452.

Так как r = 54,52% превышает 48%, то выгоднее на 4 года поместить капитал под сложную ставку.

Пример 2.4.2. Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d = 32%. По какой простой учетной ставке надо произ­вести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

Решение. Полагая в формуле (83) n = 0,75, находим:

= 0,2951.

Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51% годовых. С целью проверки можно восполь­зоваться формулой (84), где d = 0,2591:

d = 4(1 - ) = 032, или 32%.

Получив номинальную годовую учетную ставку, данную в условии примера, делаем вывод, что простая учетная ставка найдена верно.

Пример 2.4.3. Банком выдан кредит на три месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Оп­ределите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

Решение. По формуле (87) при п = 0,25, r⁽¹²⁾ =0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:

= 0,2583, или 2533%.

Для проверки результата воспользуемся формулой (88):

т.е. получили исходную сложную процентную ставку.

Пример 2.4.4. Определите сложную годовую учетную став­ку с дисконтированием 2 раза в год, которая эквивалентна годовой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) с полугодовым начислени­ем сложных процентов.

Решение. а) Применяем формулу (92) при

т = 2, i= 4, r⁽⁴⁾ = 0,24:

d

Проверим полученный ответ по формуле (91), где уже

m=4,i=2

d

б) Из формулы (92) при т = 1 = 2, /²⁾ = 0Д4 получим:

d

Заметим, что при т = i из формул (91) и (92) получим соот­ветственно равенства:

и

которые по существу являются иной записью равенств (3).

Пример 2.4,5. Определите величину силы роста при начисле­нии непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквива­лентна; а) простой процентной ставке 26% годовых; 6) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение, а) Полагая в формуле (94) п = 2, r = 0,26, находим:

, или 20,94%.Проверку полученного ответа можно осуществить по фор­муле (93):

Из формулы (94) следует, что с ростом срока п величина эк­вивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться. Напри­мер, при n = 10 лет сила роста = 12,81%; при n = 100 лет = 3,3%.

б) По формуле.(97) при т = 12, r⁽¹²⁾ = 0,26:

0,2572 = 25,72%.

Для проверки воспользуемся формулой (98):

r⁽¹²⁾=12(е -1) 0,25998 0,26.

Заметим, что в отличие от предыдущего случая величина эк­вивалентной непрерывной ставки не зависит от величины срока, в течение которого происходит наращение.

Как видно из решения случая б), < r ⁽¹²⁾. Вообще можно показать, что эквивалентные ставки r^(m), d и при любых т и i удовлетворяют неравенствам: d < <r^(m)

Пример 2.4.6. Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую процентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от предоставления ссуды.

Решение. Покажем, что для данной ситуации нетрудно по­лучить формулу в общем виде. Пусть в течение времени п ис­пользуется сложная процентная ставка r , но при начислении процентов применяется смешанная схема. Тогда по формуле

(59) множитель наращения имеет вид (1 + ) (1 + ), где

= [тп] (напомним, что квадратные скобки означают целую часть числа), =тп-[тп], п =

Множитель наращ при использовании простой процентной ставки согласно форму­ле (9) имеет вид 1 + пr, Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка нахо­дится по формуле:

В нашем случае n = года,m=4,r =0,3 ,поэтому:

 

= 0,4548,

т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%.

Таким образом, из полученной выше формулы следует, что простая процентная ставка r эквивалентна по существу двум процентным ставкам: сложной ставке r^(m), применяемой за время, равное целому числу подпериодов, и простой ставке r^(m), применяемой за время, равное дробной части подпериода. При этом если дробная часть подпериода равна нулю

( = 0), то

= [mn]=mn и полученная выше формула совпадает с форму­лой (81), а если целое число подпериодов равно нулю ( =0), то

=n и полученная формула примет вид r = r^(m)

Если бы начислялись только сложные проценты, то восполь­зовались бы формулой (81):

= 0,4543.

Пример 2.4.7. Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен при­менить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкла­дам до востребования? При учете используется временная база360 дней.

Решение. Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя воспользоваться формулой (87), посколь­ку при ее выводе считалось, что временные базы ставок одина­ковы. Однако необходимую для решения данного примера фор­мулу нетрудно получить, приравнивая соответствующие мно­жители наращения. Пусть T_d и Т , - временные базы соответст­венно учетной и процентной ставок, тогда из

получим:

d=

Таким образом, полагая r⁽¹⁾ = 0,2, Т_r = 365 дней, T = 360 дней, t= 250 дней, получим:

d= = 0,1690=16,90%.

Кстати, если бы взяли одинаковую временную базу, то при T_d =Т_r =360 дней получили бы d = 17,13%, а при T_d = T_r =365 дней- d = 17,14%.

Задачи

2.4.1. Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесяч­ным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.

2.4.2. Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

2.4.3. Какой годовой процентной ставкой с ежегодным начис­лением сложных процентов можно заменить в контракте простую процентную ставку 34% годовых, чтобы финансовые последствия для сторон не изменились? Срок контракта - 450 дней, финансо­вый год равен 365 дней.

2.4.4. Наращение осуществляется по простой процентной ставке 24% годовых в течение полутора лет. Определите годо­вую номинальную процентную ставку с начислением сложных процентов 4 раза в год, которая обеспечивает такую же величи­ну наращенной суммы.

2.4.5. Вексель учтен в банке за полгода до срока погашения

по номинальной годовой учетной ставке d⁽²⁾ =27%. По какой простой учетной ставке надо произвести учет этого обязательст­ва, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

2.4.6. Банк учитывает вексель за 45 дней до срока его оплаты по простой учетной ставке 18% годовых. Какую слояигую учет­ную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не из­менился?

2.4.7. Определите сложную учетную ставку, эквивалентную годовой номинальной процентной ставке 24% с ежемесячным начислением сложных процентов.

2.4Л. Определите номинальную годовую процентную ставку с ежемесячным начислением сложных процентов, которая экви­валентна: а) номинальной годовой процентной ставке 28% с по­лугодовым начислением сложных процентов; б) номинальной годовой учетной ставке 28% с ежеквартальным начислением сложных процентов.

2.4.9. Чему равна номинальная годовая учетная ставка с дис­контированием 4 раза в год, эквивалентная номинальной годо­вой учетной ставке 34% с дисконтированием 12 раз в год?

2.4.10. Банк учитывает вексель по годовой номинальной

процентной ставке r = 22%. Какой величины должна быть сложная учетная ставка, используемая вместо процентной, что­бы доход банка не изменился?

2.4.11. Определите величину силы роста при начислении не­прерывных процентов в течение года, которая эквивалентна процентной ставке 18% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов..

2.4.12. Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит: а) по полугодиям; б) каждые два месяца; в) ежемесячно; г) непрерывно.

2.4.13. Банк учитывает долговое обязательство по сложной учетной ставке 18% годовых. По какой номинальной годовой учетной ставке d^(m) банк должен учитывать долговое обязатель­ство, чтобы доход банка не изменился, если: а) т = 4; б) т = 6; в) т = 12?

2.4.14. Определите величину силы роста при начислении не­прерывных процентов в течение трех лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 24% годовых; б) сложной про­центной ставке 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

2.4.15. Банк предоставляет ссуду на 39 месяцев под 16% го­довых с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую процентную ставку. Как изменится результат в случае начисления только сложных процентов?

2.4.16. Вексель учтен в банке за 26 месяцев по номинальной

учетной ставке d⁽⁴⁾ = 28% годовых, причем дисконтирование осуществлялось по смешанной схеме. Определите эквивалент­ную простую учетную ставку.

2.4.17. Банк принимает вклады до востребования под слож­ную процентную ставку 28% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен при­менить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погаше­ния, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкла­дам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

2.4.18. Банк учитывает вексель за 300 дней по сложнщ^чет-ной ставке 24% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть при выдаче кредита, чтобы обеспечить получение банком т; дохода? При выдаче кредита используется временная базе дней.