Пусть на 12 участках заданного хозяйства получены оценки качества земли и средние для каждого участка урожайности озимой пшеницы (таблица 3). По результатам оценок установить функциональную зависимость урожайности (y) озимой пшеницы от балла оценки земли (x).
Таблица 4
Исходные данные для решения задачи
| № п/п (j) | Балл оценки земель (xj) | Урожайность, ц/га (yj) |
| 23.5 | ||
| 23.7 | ||
| 24.0 | ||
| 26.7 | ||
| 24.3 | ||
| 28.8 | ||
| 33.5 | ||
| 27.6 | ||
| 23.0 | ||
| 29.4 | ||
| 30.5 | ||
| 35.0 |
Рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи между урожайностью и баллом оценки земель, оценить погрешность определения коэффициента корреляции, рассчитать экономические характеристики, определить коэффициент детерминации, стандартное отклонение.
Решение
Для определения зависимости между значением урожайности и баллом оценки земель построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – урожайность озимой пшеницы, х – балл оценки земли (рис. 2).
Рисунок свидетельствует о том, что зависимость урожайности озимой пшеницы от балла оценки земли имеется и близка к линейной.
Рассчитаем коэффициенты для системы нормальных уравнений в случае линейного представления зависимости: y=a0+ a1x.
25 30 35 40 45 50 x
Рис. 2. Графическое представление зависимости между значением урожайности и баллом оценки качества земли
Для получения нормальных уравнений приравняем нулю первые производственные суммы квадратов отклонений случайных величин yj, полученных в выборках от соответствующих значений 
по параметрам а0 и а1.
, то тогда 
;
;
Вид системы нормальных уравнений:
.
Для расчета параметров составим таблицу 5.
Таблица 5
Расчет коэффициентов для системы нормальных уравнений
(случай линейного представления зависимости)
| № п/п j | Балл оценки земель, xj | Урожайность ц/га, yj | (xj)2 | xj yj | Сглаженное значение 
|
| 23,5 | 705,0 | 23,01 | |||
| 23,7 | 829,5 | 25,55 | |||
| 24,0 | 840,0 | 25,55 | |||
| 26,7 | 1014,6 | 27,08 | |||
| 24,3 | 704,7 | 22,50 | |||
| 28,8 | 1152,0 | 28,09 | |||
| 33,5 | 1507,5 | 30,63 | |||
| 27,6 | 1021,2 | 26,57 | |||
| 23,0 | 805,0 | 25,55 | |||
| 29,4 | 1176,0 | 28,09 | |||
| 30,5 | 1525,0 | 33,18 | |||
| 35,0 | 1820,0 | 34,19 | |||
| S | 330,0 | 13100,5 | 330,0 |
С учетом результатов расчетов сумм, представленных в последней строке таблицы, система нормальных уравнений для рассматриваемой задачи будет иметь вид:
Для того, чтобы решить данную систему уравнений, разделим каждое уравнение на коэффициент при a 1. Получим:
Вычтем из второго уравнение первое, получим:
1,206a 1 = 0,613; a 1 = 0,508.
Подставив значение a 1 в любое из уравнений, найдем a 0:
a 0 = 27,5 - 38,833×0,508 = 7,77.
Решение системы:
а 0= 7,77;
а 1= 0,508.
Линейное представление зависимости урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид:
=f(x)=7.77+0.508x.
Рассмотрим пример, когда функциональное представление рассматриваемой зависимости ищется в классе полиномов второй степени (парабол.) y= a0+ a1x+a2x2.
По условию задачи № 2 рассчитаем коэффициенты для системы нормальных уравнений - случай полиномиального 2-й степени представления.
Зависимость в классе полиномов 2 ой степени - парабола:
y= a0+ a1x+a2x2.
Для определения параметров а0, а1 и а2 решимсистему нормальных уравнений:
Для расчета коэффициентов системы нормальных уравнений (случай полиномиального 2-й степени представления) составим таблицу 6.
Таблица 6
Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений
(случай линейного представления зависимости)
| j | x | y | xy | x2 | x2y | x3 | x4 |
|
| 23,5 23,7 24,0 26,7 24,3 28,8 33,5 27,6 23,0 29,4 30,5 35,0 | 705,0 829,5 840,0 1014,6 704,7 1152,0 1507,5 1021,2 805,0 1176,0 1525,0 1820,0 | 21150,0 29032,5 29400,0 38554,8 20436,3 46080,0 67837,5 37784,4 28175,0 47040,0 76250,0 94640,0 | 23,11 25,52 25,52 27,01 22,64 28,02 30,58 26,51 25,52 28,02 33,23 34,32 | |||||
| S | 330,0 | 13100,5 | 536380,5 | 330,01 |
Решив систему нормальных уравнений:
,
получим a0=10.3, a1=0.38, a2=0.0016.
Сглаженная зависимость урожайности пшеницы от качества земли имеет вид:
= f(x) = 10.3+0.38 x + 0.0016 x2.
Если сравнить значения показателя , вычисленного по функциональному представлению линейной зависимости (таблица 4) и по представлению квадратичной параболы (таблица 5), то видим незначительные расхождения. Если выбор функциональной зависимости осуществить между этими двумя представлениями, то достаточно ограничиться линейным.
