1. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами 
| Корни характеристического уравнения | Вид общего решения |
1.  -
действительные, разные.
| 
|
2.  -
действительные, равные, кратность 2.
| 
|
3.  -
комплексные.
| 
|
4. 
| 
|
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26
1. Решение ОЛДУ второго порядка
| Ответ |
| № 1 | Найдите решение ОЛДУ  .
Решение:  .
| 
|
| № 2 | Найдите решение ОЛДУ  .
Решение: 
| 
|
| № 3 | Найдите решение ОЛДУ  .
Решение:  ,  .
| 
|
2. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 
, 
, 
| Корни характеристического уравнения | Вклад указанных корней в общее решение ДУ |
1. Действительные, разные
| 
|
2. Действительные, кратности 
| 
|
3. Комплексные, разные
| 
|
4. Комплексные, кратности 
| 
|
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26 2. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами | Ответ |
| № 3 | Решите уравнение  .
Решение: Характеристическое уравнение:  , откуда  ,  .
Частные решения имеют вид:
 ,  .
Общее решение имеет вид:  .
| 
|
3.Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 
| Корни характеристического уравнения | Вид 
|
1. 
| а) 0 – не корень б) 0 – корень кратности r (r =1,2) | 
|
2. 
| а)  – не корень
б) – корень кратности r (r =1,2)
| 
|
3. 
| а)  – не корень
б) – корень
| 
|
4. 
| а) – не корень
б) – корень
|  ,
 ,
 .
|
5. 
| а)  – не корень
б) – корень кратности r (r =1,2)
|  ,
|
Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами.
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26 3. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов | Ответ |
| № 4 | Найдите решение НЛДУ  .
Решение:
1) Находим общее решение соответствующее однородного уравнения.
ОЛДУ  .
Ищем решение в виде  .
Подстановка в уравнение дает характеристическое уравнение для k:
 ,
корни характеристического уравнения  ,
фундаментальная система решений однородного уравнения  ,  ;
общее решение однородного уравнения  является их линейной комбинацией  .
2) Находим частное решение  исходного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.
Правая часть уравнения имеет вид  , характеристическое число для правой части  и
не совпадает с корнями характеристического уравнения  и  ,
частное решение ищем в виде  ,
где А неизвестный коэффициент,  .
Подстановка и  в уравнение дает:  , откуда  ,
частное решение НЛДУ:  .
3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения:
 .
| 
|
| № 5 | Решите ДУ  , если  .
Решение: 1) ОЛДУ  и  .
2)
 ,  .
 .
 откуда  и  .
3)  ,
 .
4) При   ,
  .
Частное решение НЛДУ имеет вид:  .
| 
|
| № 6 | Решите уравнение  .
Решение: 1)  ,  ,  ,  .
2)  :  .
 ;
 ;
 ;
 ;
3)  .
| 
|
| № 7 | Найдите решение НЛДУ  .
Решение: 1)  .  .
 .
2)  является корнем характеристического уравнения:
 ,
 ,  .
Подстановка в уравнение дает:
 ,
откуда
 ,  .
3)  .
| 
|
| № 8 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение: НЛДУ - 3-го порядка с постоянными коэффициентами.
1)  .  .
 ,
 , ,  ;
 .
2) Правая часть уравнения имеет вид  , характеристическое число для правой части  и совпадает с корнем характеристического уравнения  кратности 1, частное решение ищем в виде
 .
Для определения неизвестных коэффициентов А, В, С подставляем решение и
 ,  , 
в исходное уравнение:
 .
Группируем члены в левой части по степеням х:  .
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
 .
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид
 .
3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения
 =
 .
| 
|
| № 9 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения.  ,
 ,  ,  .
Общее решение однородного уравнения:
 .
2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Поскольку характеристическое число для правой части  совпадает с решением характеристического уравнения  = 2 кратности 1, частное решение ищем в виде:
 .
 ,
 ,
 .
Подставим эти выражения в исходное уравнение:  .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов:
 .
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид  .
3) Общее решение исходного неоднородного уравнения:
 =  .
| 
|
| № 10 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение: 1) Находим общее решение неоднородного уравнения.
 ,
 - действительный корень кратности 2.  .
2) Находим частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть уравнения:  .
Характеристическое число для правой части является комплексным,  , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения.
Частное решение ищем в виде:
 .
Подставим в уравнение функцию и
 ,
 :
 .
Приравняем коэффициенты при  и  :
 ,  .
Частное решение:
 .
3) Общее решение неоднородного уравнения:  =  .
| 
|
Принцип суперпозиции
Если 
, то 
.
4. Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ второго порядка
Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ второго
порядка 
применяется, если 
не совпадает с функциями, перечисленными в таблице решения НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.
Пусть известно общее решение 
соответствующего
ОЛДУ 
.
Общее решение НЛДУ имеет вид 
, где 
находятся из системы:
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26 4. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных | Ответ |
| № 11 | Найдите решение НЛДУ:  .
Решение: Найдем решение ОЛДУ:  ,  ,  ,  ,  .
Частные решения ОЛДУ:  .
Найдем  .
Отсюда  .
 
| 
|
| № 12 | Найдите решение задачи Коши
 ,  ,  .
Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения.
Характеристическое уравнение  .
 ,  - пара комплексно сопряженных корней кратности 1.
 .
2) Общее решение неоднородного уравнения.  ,
где  и  - неизвестные функции. Система дифференциальных уравнений для их определения имеет вид
Решая систему, получаем
 ,  .
Интегрируя эти уравнения с разделяющимися переменными, имеем
 ,  ;
 ,  .
 .
3) Из начальных условий находим неизвестные постоянные:  ,  .
Решение задачи Коши принимает вид:
 ..
| 
|
5. Решение НЛДУ n -го порядка с постоянными
коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 
, 
| Вид правой части | Корни характеристического уравнения | Вид частного решения |
1.  - многочлен степени n
| а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r |
|
2. 
| а) число не является корнем
б) число является корнем кратности r
|
|
3. 
| а) число не является корнем
б) число является корнем кратности r
| 
 
|
4. 
| а) число не является корнем
б) число является корнем кратности r
|    + 
|
5.  
| а) число не является корнем
б) число является корнем кратности r
| 
|
Здесь 
- многочлены с неопределенными коэффициентами.
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26 5. Решение НЛДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов | Ответ |
| № 13 | Найдите решение НЛДУ  .
Решение: Характеристическое уравнение  ,  .
Общее решение однородного уравнения:
 .
Правая часть уравнения  имеет вид:
 , где  ,
корни характеристического уравнения не совпадают с  .
Частное решение ищем в виде:
 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  , получим:
 ,
 .
Общее решение:
 .
| 
|
| № 14 | Найдите решение НЛДУ  .
Решение: 1) Характеристическое уравнение:  ,  .
Общее решение ОЛДУ:
 .
2)  имеет вид:
 ,
  .
Частное решение НЛДУ ищем в виде:
  ,  ,  .
Подстановка этих значений в исходное уравнение дает
 откуда  .
 .
3) Общее решение НЛДУ: 
| 
|
| № 15 | Найдите общее решение дифференциального уравнения
 .
Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения.  ,
,  ,  - три действительных корня кратности 1.
Общее решение однородного уравнения вид
 .
2) Находим частное решение  неоднородного уравнения. В правой части уравнения имеется сумма двух слагаемых  , частное решение ищем в виде  , где  и  - частные решения уравнений
соответственно.
2.1) Находим частное решение первого уравнения.
 ,    .
Подставляя это выражение в уравнение, находим  ,  ;
2.2) Находим частное решение второго уравнения.
 ,   .
Подставляя в уравнение, получаем
 .
Приравнивая коэффициенты при  и  , получаем ,  .
Частное решение НЛДУ:  .
3) Общее НЛДУ является суммой найденных решений:   ..
| 
|
6. Метод вариации произвольных постоянных
для НЛДУ высших порядков
Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ высших
порядков 
применяется, если не совпадает с функциями, перечисленными в таблице решения НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.
Пусть известно решение 
соответствующего ОЛДУ: 
.
Общее решение НЛДУ
, где находятся из системы:
.
| № п/п | ЗАДАЧИ ПП 26 6. Метод вариации произвольных постоянных для НЛДУ высших порядков | Ответ |
| № 16 | Найдите решение НЛДУ  .
Решение: Решение:
1) Найдем общее решение ОЛДУ  :
 ,  ,  .
  .
2)   ,
 .
 ,
 .
3)
| 
|
