Глава 6. Математика. Часть 3

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НА “СТОЛБАХ”

21) Двадцать картонок, расположенных (лучше всего приклеенных к стене) двумя “столбами” в разных местах комнаты, позволяют увеличить скорость сложения и вычитания по сравнению с действиями на ленте.

Лет десять назад, когда работал в детских садах еще с рукодельными пособиями, был поражен реакцией ребят на первый раз увиденные ими “столбы”.

Замерли все, тихо, разглядывают, переводя глаза от одного столба к другому и к лентам. “Ну что, Тимоша, - спрашиваю мальчика, которому еще и пяти не исполнилось, - нравится?”

“Нравится... Красиво”. “А что красиво?” “А вот здесь всё четыре-четыре-четыре...” “А здесь восемь-восемь-восемь-восемь...”, - присоединились другие ребята.

Подразумевались колонки чисел 4-14-24-34... и 8-18-28-38...

22) Поучимся считать десятками: 1-11-21-31-41..., 2-12-22-32-42... 9-19-29-39-49-59-69-79-89-99. И снизу вверх: 99-89-79-69..., 98-88-78.68-58-48-38-28-18-8.

23) Теперь можно показать ребятам БОЛЕЕ БЫСТРЫЙ, чем на ленте, СПОСОБ сложения и вычитания двузначных чисел.

Если к 56 нужно прибавить 27, будем действовать следующим образом:

1. Найдем клетку 56 и установим в ней указку.

2. Переведем указку на клетку вниз и скажем ДЕСЯТЬ, еще на клетку вниз и скажем ДВАДЦАТЬ.

3. Переводим указку в соседние клетки вправо: ОДИН-ДВА ТРИ (с окончанием ряда переходим в нижний и продолжаем присчёт слева направо) -ЧЕТЫРЕ-ПЯТЬ-ШЕСТЬ-СЕМЬ.

4. Называем число из клетки, в которой остановилась указка: 83.

24) Если от 56 нужно отнять 27, действуем так:

1. Находим клетку 56 и устанавливаем в ней указку.

2. Переводим указку на клетку вверх и говорим ДЕСЯТЬ, еще на клетку вверх и говорим ДВАДЦАТЬ.

3. Переводя указку влево, приговариваем: ОДИН-ДВА-ТРИ-ЧЕТЫРЕ-ПЯТЬ-ШЕСТЬ (с окончанием ряда переходим в верхний и продолжаем отсчёт справа налево) — СЕМЬ.

4. Называем число из клетки, в которой остановилась указка: 29.

25) Схематически действия на сложение и вычитание выглядят следующим образом.

Стрелы для десятков, стрелки для единиц. Как на ленте, так и на столбах: столько да столько (прибавить, плюс) идём туда, где больше; отнять (минус) туда, где меньше.

Сначала, как и на ленте, работаем с указкой, потом глазами, а через некоторое время уже в уме. Но на год-два-три раньше, чем по любой из московских “развивающих” программ.

Не смущают нас и действия с выходом за сотню. Если к 78 нужно прибавить 45, указка пройдёт по клеткам 88 - ДЕСЯТЬ, 98 ДВАДЦАТЬ, 8 - ТРИДЦАТЬ, 18 - СОРОК,19 -ОДИН, 20 - ДВА, 21 ТРИ, 22 - ЧЕТЫРЕ, 23 - ПЯТЬ. С добавкой слова СТО, называем число из клетки, в которой остановилась указка: СТО ДВАДЦАТЬ ТРИ.

Если от 132 нужно отнять 54, действуем следующим образом:

передвигая указку из клетки 32 в клетку 22 говорим ДЕСЯТЬ, 12 ДВАДЦАТЬ, 2 - ТРИДЦАТЬ, 92 - СОРОК, 82 - ПЯТЬДЕСЯТ, 81 ОДИН, 80 - ДВА, 79 - ТРИ, 78 - ЧЕТЫРЕ. Называем результат из клетки, в которой остановилась указка:

СЕМЬДЕСЯТ ВОСЕМЬ.

Кто осмелится утверждать, что предлагаемые алгоритмы непосильны семи-шести-нятилетним детям?

Теперь обязательно нужно нарешать побольше задач и примеров, закрепляя навыки сложения и вычитания, добиваясь быстроты действий и постепенного перехода к счёту в уме без опоры па таблицу.

Работаем устно. Ведя запись, ни примеров, ни особенно задач много не нарешаешь, запись время съест,. Пока условие запишешь, первое действие, второе действие, развернутый ответ — сколько времени пройдёт? Да и кому нравится составлять отчёты о пустяковой, в общем-то, работе? Только на множестве примеров научимся и рассуждать, и правильно действовать.

Пятилетние ребята без устали решают задачи и примеры, с которыми многие восьми-девятилетки, модными системами замороченные, не справляются.

Вот образчик типичной работы из книги И.И.Аргинской “Обучаем по системе Л.В.Запкова. Первый класс”: “... учитель говорит: Мы объединяли, складывали числа 3 и 2, 4 и 1 и получили 5. Записывали разные случаи сложения, когда значение суммы равно 5. Теперь пойдём дальше!” - Учитель предлагает ученикам положить на парту отдельно 3 круга и 2 круга, а потом объединить обе группы в одну. Получается 5.

- Теперь отодвиньте 3 круга. Сколько осталось? (Два). Как называется число 27 (Слагаемое). А число З? (Тоже слагаемое). А число 5? (Значение суммы). Значит, как можно сказать о том, что вы сейчас делали? (Мы забрали одно слагаемое из значения суммы). Что же у вас осталось? (Другое слагаемое). Правильно. Теперь посмотрите на сумму 4+1, какие здесь слагаемые? (4 и 1). Чему равно значение суммы? (5). Если за брать слагаемое 4, какое слагаемое останется? (1). А еще какое слагаемое можно забрать? (Можно 1, тогда останется 4)”. И т.д., и т.п.

“Слагаемое, значение суммы, мы забрали одно слагаемое из значения суммы”...

И зачем картон портить, столько кругов нарезать? Три пальца да два пальца пять пальцев. Четыре пальца с пальцем тоже пять.

Вспомнилась, почему-то, история о походе Интеллигента в баню:

- Скажите, баня функционирует?

- Что-что?

Баня работает?

Работает.

И горячая вода циркулирует?

Что-что?

- Горячая вода есть? - Есть.

- Будьте любезны, билет на одно лицо. А остальное мыть не будете?

Одной из составляющих успеха наших методик является неукоснительное следование принципу: “от конкретного к абстрактному, от конкретно-образного к словесно-логическому”, не соблюдаемому почти нигде и никем.

Всякий термин, всякое определение обобщение, условность, абстракция. При обучении чтению, к примеру, буквы еще ни одной не ввели, а терминологию всю спустили: гласные, согласные, твердые, мягкие, звонкие, глухие, “меня зовут Фонема” и проч. Терминами, определениями нужно заканчивать, а не с них начинать.

На математике еще только фигуры из двух-трех пальцев складываем, а словесно-логическим уже ошарашили: слагаемое, значение выражения, значение суммы, состав десятка, состав числа, пары сумм, переместительный закон, переход через разряд и т.п.

Далеко не случайно, что математика наряду с русским языком - самые ненавистные предметы в школе. Не учащиеся тупы - методика дурна, не с того конца за дело принимается. И не учащихся психологами лечить, а методистов, создающих для школы такие пособия.

26) ЗЕЛЁНАЯ ТАБЛИЦА поможет закрепить навыки сложения и вычитания в пределах десятка, вводит знаки “плюс”, “минус”, “равно”, знакомит со способами записи примеров на сложение и вычитание.

Удобно по этой таблице и “по-научному” говорить: “Пять плюс три равно восьми, девять минус четыре равно пяти” и т.п., увидеть все это не только в цифрах, а на объектах - кружочках и квадратиках.

Целью “Стосчёта” как раз и является развитие объектных представлений, связанных со счётом, сложением, вычитанием, умножением и делением, без которых оперирование цифрами, знаками “плюс”, “минус”, “равно”, “умножить”, “разделить” будет для многих ребят еще долго оставаться абстракцией, которой и калькулятор не поможет.

В каждой колонке зелёной таблицы (на один, на два, на три и т.д.) по 10 строчек. Попросим ребят прочитать, глядя в таблицу, первый, второй, третий столбик и т.д. по самый последний, десятый в таком духе:

Шесть плюс один - семь. Шесть плюс два - восемь. Шесть плюс три - девять. Шесть плюс четыре - десять. Шесть минус один - пять. Шесть минус два - четыре. Шесть минус три - три. Шесть минус четыре - два. Шесть минус пять - один. Шесть минус шесть - ноль.

Если озвучивание столбцов сложения и вычитания учитель проводит с секундомером в руках от ребят отбоя не будет. Совсем не то, что при хронометрировании скорости чтения. За несколько занятий четырёх-пятилетки овладевают сложением-вычитанием в пределах десятка, любой пример губы сами выговаривают.

Состязаться ребята готовы на личный, на командный или средний результат (например, у мальчиков и у девочек). Подходят к учителю друг за другом и не по одному разу. Только и слышишь: “А можно ещё раз?” Кому не хочется узнать свой результат, сравнить с результатами товарищей, потренировавшись, улучшить время? Каждый в циферблат со своим зафиксированным результатом заглянет: мало услышать, надо ещё и увидеть. Шестнадцать целых, три десятых секунды. Вот видишь, шестнадцать, а тут ещё три. Приходится ребятам целые и десятые объяснять. Оказывается, четырёх-пятилетки прекрасно всё схватывают. Кто сейчас недопонял, дозреет чуть позже.

Дети прекрасно “включены” конкретно-образным учебным материалом “Стосчёта”. С двузначными числами начали знакомиться в четыре, а то и в три года, а не с 96-го урока (см. “Математику” Петерсон Л. Г.) в первом классе. Наши ребята не отвлекались “Волшебными цифрами” (там же): 0 -- шарик, 1 - флажок, 2 -• яблочко, 3 — цветочек, 4 — грибочек, 5 листик, 6 — груша, 7 ёлочка, 8 рыбка, 9 кружечка. Не было у нас и давыдовских “сказочных цифр”.

Какие же чудеса методической изобретательности нужно проявить, чтобы 100 (по Занкову) или 95 часов отсидеть в одно значных числах! Петерсон, чтобы не показывать двузначных, разбавила свои четыре книги объёмом в более чем три сотни страниц малышами, Карлсонами, Незнайками, Винни-Пухом, Пятачком, Винтиком, Шпунтиком, Пилюлькиным, Пончиком, Мальвиной, Буратиной, Чипом, Дейлом, Зигзагом, Майк-Кря-ком, Скруджем, Шанокляком, Алисой, Мартовским Зайцем, Синей Гусеницей, Капризулей и прочим и прочим в игривом московском методическом духе.

27) КРАСНАЯ ТАБЛИЦА (см. Приложение 2 в конце книги) поможет бойко научиться считать до ста двойками, тройками, четвёрками и т.д. Действия учащихся в этом случае весьма просты: найди “2” и, следуя указкой (а потом только глазами) по горизонтальной графе, называй обозначенные в ней числа:

найди “З” и считай: 3, 6, 9, 12, 15... 90, 93, 96, 99 и 1 в остатке и т.д.

Считать будем и по 6, и по 8, и по 17: 17, 34, 51, 68, 85 и 15 в остатке. Это подготовка к будущему умножению и делению, и счёт этот далеко не абстрактен: от 17 до 34 глаз пробегает 16 пустых клеточек, очень важно увидеть и воспринять эти промежутки, все увеличивающиеся к низу таблицы.

Числа в таблице чёрные и не чёрные (написанные белым на красном). Чёрные на “чё” начинаются — чётные, нечёрные на “нечё” начинаются - нечётные. Такой дополнительный ориентир помогает легче воспринимать всю таблицу; столбики таблицы умножения, расположенные в левой части и таблицу Пифагора становится легче отслеживать глазами.

Почему-то никто почти не знает, что в сотне 25 простых чисел. Обратим, со временем, внимание ребят на это, сказав, что все простые числа — нечётные (кроме двойки) и расположены на вертикальных красных полосах.

Можем попросить ребят назвать или выписать простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 57, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Легко со временем нам будет отвечать и на такие, например, вопросы: “На что делится 42?”

Для этого надо в верхнем горизонтальном ряду найти 42 и, опускаясь по столбцу, называть числа: “На 1, на 2, на 3, 6, 7, 14, 21 и само на себя”. “А на что делится 60?” “На 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60”. Делители обнаруживаются движением глаз влево до края горизонтальной графы.

В двух нижних строчках таблицы представлены числа, дополняющие друг друга до ста. Пяти-шестилетки, имея такую опору, запросто решают задачи вроде:

— Сколько кукол по 13 тысяч можно купить на 100 тысяч рублей? Сколько денег при этом останется?

— Сколько будут стоить 5 кукол по 13 тысяч? Сколько получишь сдачи со 100 тысяч?

— В группе 17 ребят. На праздник им решили подарить по 3 кг конфет. Сколько всего?

— 42 кг конфет разложили в пакеты по 3 кг. Сколько получилось пакетов?

И так далее, и тому подобное.

28) ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ к шести годам, конечно, будем знать назубок. Увлекательнейшее дело, если опять используем секундомер.

Попросим ребят прочитать по “красной” таблице первый столбик (одиножды один и т.д.) на время.

Таким же образом обмерим и следующие столбики. Сразу предупредим: произносить нужно “одиножды, дважды, трижды, четырежды, пятью, шестью, семью, восемью, девятью, десятью”. А то ведь порой и такое встретишь: “Дваю два, дваю три” или “Пять на два” и т.п.

По строчкам “красной” таблицы, расположенным справа от столбиков умножения, каждый легко может убедиться, что шесть раз по семь, действительно, сорок два, а семь раз по восемь семью восемь, проще говоря, действительно пятьдесят шесть.

Восторг вызывает таблица Пифагора. Надо же, как ловко устроена! Веди левой рукой по строчке вправо, правой рукой вниз, в точке пересечения получишь нужный результат.

Некоторым ребятам становится удобнее читать столбики на скорость по таблице Пифагора.

На глазах улучшаются результаты, чёткость произношения, в погоне за результатом многие отказываются глядеть в таблицу: “Так удобнее!” — объясняют.

Всем известна проблема: давно дети поняли, зачем нужна таблица умножения, как ею пользоваться, но... не выучивается она никак!

А учительница требует: “Ночью тебя разбуди, восемью девять спроси — губы чтоб сами сказали!”

Попросите второклассников-третьеклассников таблицу быстро и громко ПРОЧИТАТЬ. Замерьте время. Многим и при дневном-то свете, в таблицу глядя, с этим и за три минуты не справиться, пятнадцать раз запнутся, ошибутся: губы и язык не ворочаются.

Так давайте губы и язык тренировать, моторику, если хотим, чтоб “Ночью разбуди!”

Обеспечивая такую тренировку, необходимо позаботиться о глазах и осанке ребёнка. Столбики что в “зелёной”, что “красной” таблице достаточно крупны, чтобы воспринимать их с расстояния в два-три-четыре метра, стоя или сидя в удобной позе, с прямой спиной и откинутой назад головой.

Изготовим сами таблицу умножения размером не меньше ватмановского листа (таблица 4).

В таблице есть лёгкие и трудные столбики, лёгкие и трудные строчки.

Лёгкие столбики — на один, на два, напять, на десять. Лёгкими во всех столбиках будут первые и последние строчки — 6 х 1 = 6; 6 х 10 = 60 и т.п.

Всё “лёгкое” напишем зелёным, трудное — чёрным. Когда пройдены (замерены, многократно проговорены и услышаны) все столбики, учащиеся получают новое задание: кто быстрее по этой таблице всё “чёрное” прочитает?

Лучшие результаты могут приближаться к сорока и даже тридцати секундам.

Обязательно нужно проводить состязания на средний результат (между мальчиками и девочками, например), чтобы “медленные” ребята не потеряли интереса к улучшению своих показателей.

При такой работе таблица умножения выучивается с азартом, на удивление легко и быстро. “А нельзя ли ещё чего так выучить?” — иногда спрашивают ребята. Конечно, можно. Названия падежей с привязкой к ним падежных вопросов, например, и прочие вещи с тренировкой речевой моторики.

29) ПАЛАТА МЕР И ВЕСОВ. Пяти-шести-семилетки вообще обожают всяческие обмеры. В детском садике, начальной школе обязательно нужно иметь секундомер, линейки разной длины, портновский метр, угольники, мерную цепь (две лыжные палки, соединённые десятиметровой цепочкой на высоте примерно 70 см от земли) для замера больших расстояний, рулетку. В постоянных обмерах поймём и метры, и километры, сантиметры, дециметры и миллиметры. Насчитали до такого-то места с помощью мерной цепи 280 метров, отмерили рулеткой ещё 6 метров 57 сантиметров, сложили. Вот какое расстояние — 286 метров 57 сантиметров. Сможем участок обмерить, план его вычертить. С московскими-то палками не очень разовьёшься.

Нужны весы. Разные — чашечные, с гирями и гирьками, пружинные, повезёт, так и электронные. Будем взвешивать всё, а тут и до нахождения объёма и определения плотности недалеко — калькуляторы значит, нужны. Нужны мерные кружки, стаканы.

Редко какой преподаватель математики назовёт габариты кирпича, его вес. Наука начинается с обмеров. Мы заабстрактили математику. Начинаем с никому не нужных рассуждений и уже вылезти не можем. Давайте замерять расстояние, время, взвешивать, высчитывать площадь, объём, плотность вещества, сам собой станет нужен калькулятор. А рассуждать через деятельность и в деятельности научимся.

30) Начертите на полу КВАДРАТНЫЙ МЕТР. Расчертите его на квадратные дециметры, а один квадратный дециметр на сантиметры. Можно вклеить и квадратный сантиметр, вырезанный из миллиметровой бумаги. Рядом или в другой комнате можно сделать такой же квадратный метр на стене.

31) Хорошо бы изготовить натуральный КУБИЧЕСКИЙ МЕТР. На мебельных колесиках. Верхняя плоскость используется в качестве стола, внутренняя часть - объёмистый шкаф о двух дверках с полками в одной половине, а в другую двое-трое ребят даже могут забраться.

Боковые стенки шкафа-куба тоже должны работать: стенку с дверцами расчертим на квадратные дециметры, три другие стенки для вписанных квадратов и окружностей, восьмиконечной звезды, диагоналей, делящих квадрат на множество треугольников. На куб поставим кубический дециметр 1 (тоже расчерченный), а на него кубический сантиметр. Полезный предмет мебели и учебное пособие одновременно.

32) Ребята без особого труда воспринимают расположенную рядом с кубом таблицу, всю её прочитывают, активно обсуждают. Они вообще любят всё “научное”, и всякая толковая таблица обязательно вызывает интерес.

Такая таблица — повод к разговору о многих вещах, окружающих ребёнка, введение в мир чисел, обсчёта, сравнения.

Укрепляются навыки чтения слов и чисел, ребят охватывает страсть взвешивания разных предметов и материалов, вычисления их объёма и плотности. Становится нужным калькулятор, учимся пользоваться им. Операции не столь хитры, чтобы их не смог понять шести-семилетний ребёнок.

33) Прав А.М. Лобок из Екатеринбурга, у вальфдорских педагогов подсмотревший: деление — одна из самых доступных и интересных операций для ребёнка. Чуть ли не с рождения он является свидетелем или участником деления яблок, конфет, каши, супа, разливаемого из супницы в тарелки.

В делении найдём и сложение, и умножение, и вычитание. Вспомним крестьянских детей С.А. Рачинского, “домучивших” учителя до “настоящего арифметического кошмара”, загнавших его в теорию чисел, доведших до изобретения мнемонических приёмов, дававших возможность “придумывать безостановочно бесконечный ряд десяти и двенадцатизначных чисел, делимых без остатка на любые другие числа, и вместе с тем бесконечный простор для импровизации задач, устных и письменных”.

Отметим для себя и московских теоретиков: бесконечный простор не в рассуждениях по поводу двух и трёх пальцев, не в занудном оформлении каждой задачки, в которой и решать-то нечего, а подробный отчёт приложи: краткое условие, первое действие, второе действие, развёрнутый ответ. Бесконечный простор в решении большого количества интересных, сложных, но посильных для группы задач.

Пяти-шестилетки, подготовленные по “Стосчёту”, уже не боящиеся больших (с московской точки зрения) чисел, с удовольствием разделят 437 конфет (счётных палочек) поровну на каждого в группе из 23 ребят.

Наберём сначала 437: 100+100+100+100+10+10+10+7 из пучков счётных палочек по сто и десять, перетянутых резинками. Один десяток разберём, чтобы получить 7.

Раздадим сначала каждому по десятку “конфет”. При раздаче ещё по десятку один человек окажется обделённым. Раздадим тогда всем по пять “конфет”, а потом ещё, ещё, ещё и ещё по одной. Каждому достанется по 19.

Преподаватель проверяет, складывая “конфеты” в коробку, ведя запись на доске и, конечно, словесно комментируя свои действия: 23х10=230, 20х9=180, 3х9=27; 230+180+27=437. Правильно поделили! Молодцы!

А можно и по другому: 23х19=23(20-1)= 460-23=437

Покажите ребятам на доске и умножение столбом, и деление углом, опять же комментируя каждый свой шаг. “Мы вон сколько времени бегали-разносили, а учитель вмиг без беготни сделал. Надо этот способ разгадать, дайте нам ещё задачу или примерчик!” Непременно учительский “секрет” раскроют.