Возрастающая функция. Убывающая функция

Четная функция. Нечетная функция.

 

§2 Периодичность функций

Понятие периодичности

Как правило, изучение этого свойства функции рекомендуется осуществлять при рассмотрении тригонометрических функций. Подвести учащихся к свойству периодичности функций можно, используя метод целесообразных задач.

1. Используя единичную окружность, докажите тождества (α Î R):

2. Сравните:

а) и

б) и

в) и

3. Существует ли такое число α, при котором выполняется равенство

Учащиеся подводятся к выводу: числа вида 2πk (k Î Z) – особые для функции синус. Им сообщается, что эти числа называются периодами функции, а сама функция периодической.

Затем вводится определение: «Функция у = f(x) называется периодическо й, если существует такое число Т ¹ 0, что при любом х из области определения функции числа х – Т и х + Т также принадлежат этой области и выполняется равенство f(х – Т) = f(x) = f(х + Т)». В этом случае число Т называется периодом функции.

Пример. Функция f(x) = является периодической.

D(f) = R. При любом x Î R (числа (x + 2π) Î R и (x - 2π) Î R) cумма и разность двух действительных чисел – действительные числа. Числам x,

соответствует одна и та же точка единичной окружности, а значит, и одна и та же ордината – значение синуса, поэтому

Легко доказать, что функция имеет бесконечное множество периодов вида 2πk, где k Î Z: числа 4π, 6π, 8π,..., -4π, -6π, -8π,... – периоды функции.

Число 2π является наименьшим положительным периодом функции синус.

Итак, если Т – период функции, то kT, где k Î Z, - также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. на практике обычно рассматривают наименьший положительный период. Его иногда обозначают Т_0.

Свойства периодических функций.

1. Область определения периодической функции симметрична относительно начала координат.

2. Для периодической функции справедливо равенство , где Т₀ – период функции, к Î Z.

3. Если Т₀ – период функции , то любое из чисел kT₀, где также период этой функции.

4. Если функция периодическая с периодом Т₀, то функция также периодическая с периодом (при а ¹ 0).

5. Если функция периодическая с периодом Т₀, то функции вида являются периодическими с тем же периодом.

6. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с одинаковым периодом являются периодическими функциями с тем же периодом.

7. Сумма периодических функций с разными периодами является периодической функцией только тогда, когда их периоды соизмеримы.

8. Если имеет период Т и дифференцируема, то - периодическая функция с тем же периодом.