КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача № 1. Для плоской системы сходящихся сил определить аналитическим способом реакции стержней АВ и ВС кронштейна, удерживающего в равновесии груз G = 40 кН, проверить решение геометрическим способом.
 |
Рис. 1 рис. 2
1. Выделим точку, равновесие которой следует рассмотреть, чтобы определить реакции стержней. В данной задаче такой точкой является шарнир В. Изобразим его отдельно на рис. 2.
2. Укажем действующие на точку В активные силы (нагрузки). Такой силой является сила G, действующая вдоль нити, перекинутой через блок D.
3. Мысленно освободим шарнир В от связей (стержней и заменим действие связей их реакциями NA и NC, направленными вдоль стержней ВА и ВС соответственно. Не всегда заранее можно определить какой из стержней растянут или сжат. Поэтому существует общепринятое правило считать предположительно все стержни растянутыми. В соответствии с этим правилом реакции NA и NC стержней на рис. 2 направлены от шарнира В.
4. Приняв точку В за начало координат, выберем положение осей х (ось абсцисс) и у (ось ординат) таким образом, чтобы по крайней мере одна из них совпала с линией действия неизвестной силы, т.е. совместим одну из осей координат с осью какого-либо стержня. В нашем примере стержни АВ и ВС взаимно перпендикулярны, поэтому рационально провести через них оси отсчета.
5. Определив при помощи данных на рис. 1 углы, образуемые силами G, NA, NC, с осями х и у, определим проекции всех сил на каждую из осей и составим из этих проекций уравнения для плоской системы сходящихся сил.
Σх = Nc + G · Cos30 ° = 0 (1)
Σу = NA - G · Cos60 ° = 0 (2)
6. Решаем получившуюся систему уравнений.
Из уравнения (1) имеем: Nc = - G · Cos30 ° = - 40·0,866 = - 34,64 кН
Знак минус перед численным значением Nc показывает, что вектор Nc должен быть направлен в противоположную сторону, т.е. стержень ВС не растянут, как предполагалось, а сжат силой 34,64 кН.
Из уравнения (2) имеем: NA = G · Cos60 ° = 40 · 0,5 = 20 кН
Численное значение NA положительно, значит выбранное направление вектора NA соответствует действительному и стержень ВА растянут силой 20 кН.
7. Решение задачи обязательно следует проверить. Лучшим способом проверки может быть либо решение с помощью иного выбора осей координат, либо решив задачу иным методом, например, графически.
 | |||
| |||
|
Графическое решение задачи (оно показано на рис. 3) выполнять очень просто с помощью линейки с миллиметровой шкалой и транспортира.
1. Выбираем некоторый масштаб построения.
2. Из произвольной точки а откладываем горизонтально слева направо (так направлена сила G) вектор ас, который в выбранном масштабе изображает силу G. Из точек с и а проводим прямые, параллельные соответственно стержню ВА и стержню ВС. Эти прямые пересекаются в точке b. Образовался замкнутый многоугольник acb, в котором вектор аb изображает реакцию стержня ВА, а вектор bc – реакцию стержня ВС.
3. Измеряя искомые векторы, с учетом принятого масштаба получаем NA = 20кН, Nc = 34,64 кН. Следует отметить, что векторный многоугольник показывает действительное, а не предполагаемое направление искомых сил.
Задача № 2. Для балки (рис. а) определить реакции опор в точках А и В, если F = 16 кН, g = 2кН/м и М = 12 кН·м.
 |
а)
 |
б)
Решение. Рассматривая равновесие балки, освобождаем точки А и В от связей и заменяем связи силами реакций связей RA и RB (рис. б). Действие на балку равномерно распределенной нагрузки интенсивности g заменяем равнодействующей Q = g · 4 = 2 · 4 = 8 кН, которая расположена в середине длины этой нагрузки (рис. б). Таким образом, на балку действуют пара сил с моментом М и система параллельных сил RA; Q; Р и RB. Для определения неизвестных реакций связей балки и используем уравнения равновесия ∑МA = 0 и ∑МB = 0. В качестве проверочного уравнения принимаем уравнение ∑ у = 0. Выберем систему координат х и у с началом в точке А и составим уравнения равновесия системы сил:
∑МA = 0 Q · 2 + М + F · 6 - RB · 8 = 0 (1)
∑МB = 0 RA · 8 – Q · 6 + М – F · 2 = 0 (2)
∑ у = 0 RA – Q F + RB = 0 (3)
Из уравнения (1):
Из уравнения (2):
Из уравнения (3) следует, что
8,5 – 8 – 16 + 15,5 = 0
Следовательно, реакции RA и RB балки по величине и направлению определены верно.
Следует заметить, что момент М в отличие от сил не изменяет своего знака относительно точек А и В балки (и других произвольных точек) при написании уравнений моментов сил.
Задача № 3. Определить координаты центра тяжести сечения геометрической формы
Положение центра тяжести фигуры сложной формы можно определить, разбив эту фигуру на пять элементов простой формы, положения центров тяжести которых известны:
I – прямоугольник 25 х 30 см с центром тяжести С1
II – прямоугольник 55 х 10 см с центром тяжести С2
III – прямоугольник 25 х 45 см с центром тяжести С3
IV – два треугольника с центрами тяжести С4 и С`4
Нанесем на сечение координатные оси. Ось у совместим с осью симметрии сечения. Поскольку сечение симметрично относительно вертикальной оси и следовательно, х с = 0, потребуется определить только координату у с центра тяжести по формуле:
где S 1 S 2 S 3 S 4 – площади составных частей фигуры;
у 1 у 2 у 3 у 4 – ордината центра тяжести составных частей фигуры
относительно осей.
S 1 = 25 х 30 = 750 см2 у 1 = 70 см
S 2 = 55 х 10 = 550 см2 у 2 = 50 см
S 3 = 25 х 45 = 1125 см2 у 3 = 22,5 см
у 4 = у `4 = 30 см
Подставим числовые значения в формулу (1)
Итак, точка С имеет координаты
Х с = 0
У с = 40,5 см
Задача № 4. Для ступенчатого бруса требуется:
- построить эпюру продольных сил;
- построить эпюру нормальных напряжений;
- проверить прочность, если [δ]р = 160 МПа и [δ]cпc = 100 МПа;
- определить удлинение конца бруса, если Е = 2 ·105 МПа, F1 = 40 кН, F2 = 10 кН, F3= 50 кН, d1 = 30 мм, d2 = 20 мм.
 |
|
Решение:
1. Разбиваем стержень на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков будут сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня. В данном случае по длине бруса будет четыре участка.
Пользуясь методом сечений, определяем значение продольных сил в сечениях бруса, не определяя опорной реакции в его заделке. Проводя сечение в пределах первого участка и отбрасывая левую часть бруса, составим уравнение равновесия:
∑у = 0; – N1 – F1 = 0
откуда N1 = – F1 = – 40 кН
получили отрицательное значение. Следовательно, на первом участке брус сжат.
Проводим сечение на втором участке и отбрасываем левую часть бруса, получим уравнение равновесия для второго участка: – N2 – F1 + F2 = 0, откуда N2 = –F1 + F2 = –40 + 10 = – 30 кН.
Для четвертого участка уравнение равновесия имеет вид:
–N4 –F1 + F2 + F3 = 0, откуда N4 = –F1 + F2 + F3 = –40 + 10 + 50 = 20 кН
На четвертом участке стержень растянут. По полученным N1, N2, N3, N4 строим эпюру продольных сил.
2. Определяем нормальные напряжения по участкам, как отношение внутренних сил к площади поперечного сечения.
Площади поперечных сечений:
По полученным нормальным напряжениям строим эпюру s.
3. Проверяем прочность ступенчатого бруса. Прочность бруса обеспечена, если выполняется условие: smax ≤ [s].
Из эпюры нормальных напряжений выбираем максимальное нормальное напряжение на растяжение и сравниваем его с допускаемым:
/ 
р/max ≤ [ ]р.
63,6 МПа ≤ 160 МПа
Условие прочности выполняется.
Из той же эпюры выбираем максимальное нормальное напряжение сжатия (по абсолютной величине) и сравниваем его с допускаемым.
/ сж/max ≤ [ ]сж.
95,4 МПа ≤ 100 МПа
Условие прочности выполняется.
Вывод: прочность ступенчатого бруса обеспечена.
4. Так как ступени бруса изготовлены из одного материала, перемещ конца бруса определяем по формуле:
Вывод: брус укоротится на 0,032 мм.
Задача № 5. Для балки, изображенной на рис. а, построить эпюры Q и Мизг.
а)
б)
в)
г)
Решение:
1. Определяем опорные реакции
∑mA = 0; –F1 · 1 + F2 · 3 – RВ · 4 + М = 0 (1)
∑mВ = 0; RА · 4 + F1 · 3 – F2 · 1 + М = 0 (2)
Из уравнения (1):
Из уравнения (2):
Проверка: условия равновесия балка
∑у = 0, RА + F1 – F2 + RВ = –2,5 + 2 – 4 + 4,5 = 0
2. Обозначаем характерные точки балки. Характерными точками являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов сил.
В данной задаче характерными являются точки: А, В, С, Д.
3. Строим эпюру поперечных сил. Следует учесть, что поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения на ось, перпендикулярную оси балки. силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной, а направленную вниз – отрицательной. Для правой части балки – наоборот (QZ=SFi отсеченная часть).
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: слева от рассматриваемой точки и справа от ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Qлев. и Qправ.
Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Соединив полученные значения прямыми линиями параллельными оси эпюры (рис. в) получим эпюру Q х.
4. Строим эпюру изгибающих моментов Мизг.
Для этого определяем изгибающие моменты в характерных точках АВСD.
Изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (сосредоточенных, в том числе опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным, если против – отрицательным, а для правой части наоборот (МZ= SМ(Fi) для отсеченной части).
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев. и Мправ.
В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.
МА = 0
МС = RА · 1 = – 2,5 · 1 = – 2,5 кН · м
МД = RА · 3 + F1 · 2 = – 2,5 · 3 + 2 · 2 = – 7,5 + 4 = –3,5 кН · м
МВлев. = RА · 4 + F1 · 3 – F2 · 1 = – 2,5 · 4 + 2 · 3 – 4 · 1 = – 10 + 6 – 4 = –8 кН · м
МВпр. = RА · 4 + F1 · 3 – F2 · 1 + М = – 2,5 · 4 + 2 · 3 – 4 · 1 + 8 = – 10 + 6 – 4 + 8= 0.
Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Соединяем полученные значения прямыми линиями, получаем эпюру Мизг (рис. г).
