Сведение теории нечетких множеств к теории случайных множеств

Описание неопределенностей с помощью теории нечетких множеств. Алгебра нечетких множеств.

Определение нечеткого множества

Обычно говорят, что нечеткое подмножество С множества А характеризуется своей функцией принадлежности . Если функция принадлежности имеет вид при некотором B, то С есть обычное (четкое) подмножество А.

Операции над нечеткими множествами.

Пусть А и В – 2 нечетких подмножества C с функциями принадлежности и . Пересечение А∩В , произведение АВ , объединение А , сумма А+В , отрицание .

Случайное множество, множество, зависящее от случая -случайное множество, пространство элементарных исходов , Y- множество всех подмножеств y. .

Проекция случайного множества

Нечеткое множество А называется проекцией случайного множества , если функция принадлежности совпадает с вероятностью того, что х входит в случайное множество .

Теорема: Пусть и -независимые случайные величины множества, и , тогда .

Алгебра нечетких множеств

Законы де Моргана для нечетких множеств

Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

Дистрибутивный закон для нечетких множеств

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С В то же время равенство справедливо тогда и только тогда, когда при всех

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим Для доказательства тождества необходимо показать, что (6)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала Тогда левая часть соотношения (6) есть а правая т.е. равенство (6) справедливо.

Пусть Тогда в соотношении (6) слева стоит а справа т.е. соотношение (6) опять является равенством.

Если то в соотношении (6) слева стоит а справа т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа b и c входят симметрично. Тождество (4) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

и

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда что и требовалось доказать.

 

Сведение теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение. Пусть - случайное подмножество конечного множества У. Нечеткое множество В, определенное на У, называется проекцией А и обозначается Proj A, если (7)при всех

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (7) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.

Теорема. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Proj A.

Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества А. Пусть У₁ - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что при некотором m и элементы У₁ занумерованы в таком порядке, что

Введем множества

Положим

Для всех остальных подмножеств Х множества У положим Р(А=Х)=0. Поскольку элемент y_t входит во множества Y(1), Y(2),…, Y(t) и не входит вомножества Y(t+1),…, Y(m), тоиз приведенных выше формул следует, что Если то, очевидно, Теорема доказана.