Метод элементарных преобразований
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A найден ненулевой минор k -го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.
17.. Определить понятия системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, ее решения, совместности, определенности, несовместности, неопределенности, эквивалентности, эквивалентных преобразований. Сформулировать критерий совместности системы.
Система линейных алгебраических уравнений с 
неизвестными — это система уравнений вида
Вот--à
Здесь 
— неизвестные. Коэффициенты системы 
и её свободные члены 
предполагаются известными.
Решение системы уравнений — совокупность чисел 
, таких что подстановка каждого 
вместо 
в систему обращает все её уравнения в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Если имеет только 1 решение то определенная,если больше 1 неопределенаая.
Если все b=0 то –одноровная.
КРИТЕРИИ:имеет больше 1или хотябы 1 решение…
18. Записать систему в матричном виде. Изложить сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
Метод обратной матрицы: Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:
A-1AX=A-1b, EX=A-1b, (E - единичная матрица)
Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A-1b.
19. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера. 
Крамер: det не равен 0,система имеет 1 решение.
xi = Di/D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Метод обратной матрицы
20. Изложить алгоритм метода Гаусса, раскрыть его сущность и виды решений в зависимости от полученной ступенчатой матрицы. Сформулировать критерий Кронекера-Капелли. Определить понятие базисных и свободных неизвестных, общего и частного решения для систем с бесконечным множеством решений.
Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
1) на 1 место ставим а11не равное 0
2) на 2 мессто ставим а22 не равное нулю…и дальше аналогично до конца пока не получим 1 из 3 вариантов.
1)треугольная система – тогда она совместная и определенная, есть 1 ответ
2)1 из ур. Системы имеет выд 000…..В не= 0 занчит система не совместа (не имеет решений)
3)получена система тропециивидной матрицей, из псоледнего ур. Выражаем неизвестную например хк через остальные nk затем подставляем в последние и до верхнего. Такая система имеет бесконечно решений, переменые в ней деляться на базисные и свободные. Свободыне принимают любое занччение а базисные выр через свободные, за базисные берут те которые состовялют не нулевой минор.
Кронер-капелли: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
21. Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.
Вектором называеться направленый отрезок имеющий точки начала и конца
Характерезуется длиной и направлением
Операции:1) сложение сумой 2 векторов а и б называют вектор с, соединяюший начало а и конец б (свойства как с обычнми числами)
2)разность, под разность а и б понимается вектор с такой что выполныеться условие б+с=а, с=а-в
3)умножение вектора на число,вектор А умножить на число b называеться новый вектор С=Аb
(свойства как с обычнми числами)
22. Дать понятие базиса на плоскости и в пространстве, сформулировать теоремы о разложении произвольного вектора по базису на плоскости и в пространстве и доказать их. Определить понятия проекции точки и вектора, координат вектора в данном базисе.
:Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов
Любой ветор на плоскости может быть разложен единственым образом по 2 любым неколинеальным векторам.
Любой вектор 
может быть разложен по базису 
в пространстве, где числа 
определяются однозначно.
Проэкция вектора, есть геометрическая и алгеброическая..геометрическая концы вектора АВ перпердикулярно опускаються на прямую и образуют проекцию АВ.
Алгеброическа
проекция и ей свейства
23. Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Записать форму для вычисления длины вектора. Определить линейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и записать соответствующие формулы.
Савакупность точки начала и прямоугольного базиса называеться прямоугольной декардавой системой кардинат, прямоугольный базис-базис вектора которого единичны и ортогональны.
Формула: длина = корень квадратный из суммы квадратов его кординат
Операции …
24. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства, вывести формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический смысл скалярного произведения.
Скалярное произведение 2 не нулевых векторов называеться число, равное произведению их длин на cos угла между ними. A*b=|a||b|cos(a угл b)
СВОЙСТВА:
Смысл-скалярное произведение векторов определяет работу постороней силы F при прямолинейном перемешении её точки приложения на растояние S.
25. Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
Векторным произведением вектора А на неконалиальный с ним В называеться вектор С
,который строиться след образом, его модуль числено равен плошади паралелограма построеного на перемножаемых векторах.2) вектор С | каждому из перемножаемых векторов.3)из 2 возможных направлений положительным считаеться то ппри которой тройка векторов А,В,С правая.4) векторное произведени коллинеарных векторов считаетьяс = нулую.
СВОЙСТВА:
26. Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.
27. Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.функций.
28. Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.
29. Определить способы задания прямой на плоскости и вывести различные виды уравнений прямой на плоскости в зависимости от способа задания..
30. Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между двумя прямыми и.расстояния от точки до прямой.
31. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения, изложить геометрические свойства.
Окружность – это множество точек плоскости, равноудалённых от центра.
(х-х0)2+(у-у0)2=R2 (нормальное уравнение)
С(0;0)→х2+у2=R2 (каноническое уравнение)
Окружность является частным случаем эллипса.
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
32. Дать определение эллипса, его основных параметров, записать его геометрическое, каноническое и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета и определить взаимосвязь осей и фокусного расстояния.
. Эллипс – это множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами) постоянна, то есть| F 1 M | + | F 2 M | = 2 a.
Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy
Координаты фокусов F1(-С;0) F2(С;0) F1(0;С) F2(0;-С)
Фокусное расстояние | F1F2|=2с
Большая ось |А1А2|=2а |В1В2|=2в
Малая ось |В1В2|=2в |А1А2|=2а
Связь а, в, с. а>в: а2-в2=с2 в>а: в2- а2=с2
Уравнение x2/y2+y2/b2=1 (каноническое уравнение)
Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси.
33. Дать определение гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.
Гипербола -множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.
Уравнение гиперболы x2/a2-y2/b2=1-----y2/b2-x2/a2=1
Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy
Координаты фокусов F1(-С;0) F2(С;0) F1(0;С) F2(0;-С)
Фокусное расстояние F1F2|=2с
Действительная ось |А1А2|=2а |В1В2|=2в
Мнимая ось |В1В2|=2в |А1А2|=2а
Связь а, в, с а2+в2=с
Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b
Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0
y=E>1/+-b/a*корень x*x-a*a -- алгебраическое получение гиперболы.
Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближаются точки на гиперболе по мере удаления элемента от начала координат.
34. Дать определение равносторонней гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.
Равносторонней называется гипербола у которой а=в, её уравнение х2- у2=а2.
Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси.
Асимптотами гиперболы называют прямые к которым неограниченно приближены точки на гиперболе по мере удаления аргумента от начала координат
Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0
Уравнение гиперболы х2/а2-у2/в2=1 у2/в2-х2/а2=1
у=(Е>1)/(±в/а √(х*х-а*а)) -- алгебраическое получение гиперболы.
Фокусное расстояние | F1F2|=2с
Связь а, в, с а2+в2=с
35. Дать определение параболы, записать ее геометрическое и различные виды канонических уравнений, изложить геометрические свойства. Записать различные координаты фокуса и уравнения директрисы параболы в зависимости от расположения параболы в системе координат.
Параболой называется множество точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.
Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным (р, р>0) параметром параболы.
|MF|=|MN| -- геометрическое уравнение параболы.
Каноническое y2 = 2px или x2 = 2py
Квадратное уравнение y = ax 2 + bx + c также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и y = ax 2, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам: xa=-b/2a. ya=4ac-b2/4a
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы y 2 = x фокус находится в точке (0,25; 0).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
36. Изложить способы задания плоскости в пространстве и вывести различные виды уравнений плоскости в зависимости от способа ее задания..
Плоскость в пространстве может быть задана:
1) точкой и вектором перпендикулярным плоскости
2) тремя точками
3) отрезками, отсекаемыми плоскостями на осях координат
4) точкой и двумя неколлинеарными векторами параллельными плоскости
Виды уравнений плоскости в пространстве:
-1-) 
-2-) A(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 -- уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
-3-) Aх+ Ву+ Сz+D=0 -- общее уравнение плоскости
37. Разъяснить критерии определения взаимного расположения плоскостей в пространстве, записать условия их параллельности и перпендикулярности. Записать формулу для определения угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве:
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются, либо перпендикулярны.
Условие параллельности:
р1//р2 ó n1(вектор)↑↓n2(вектор)ó A1/A2=B1/B2=C1/C2
Условие совпадения:
р1=р2 ó A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 …. A1/A2 не равно B1/B2(В1/B2 не равно C1/C2)ó пересекаются
Условие перпендикулярности:
р1┴р2 тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные вектора
А1А2+В1В2+С1С2=0
косинус острого угла между плоскостями.
Пусть плоскость П,задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка Mo(Xo;Yo; Zo). Тогда расстояние p от точки Mo до плоскости П определяется по формуле 
38. Изложить способы задания прямой в пространстве и вывести различные виды уравнений прямой в пространстве в зависимости от способа ее задания.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) точкой и направляющим вектором
2) двумя точками
3)пересечением двух плоскостей
Уравнения:
; t∊R -- векторное уравнение прямой
x-x0/a1=y-y0/a2=z-z0/a3 -- каноническое уравнение прямой
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1-- уравнение прямой по двум точкам
39. Разъяснить критерии взаимного расположения прямых в пространстве и записать различные условия их взаимного расположения.
