Окружность – это множество точек плоскости, равноудалённых от центра

Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k -го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

17.. Определить понятия системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, ее решения, совместности, определенности, несовместности, неопределенности, эквивалентности, эквивалентных преобразований. Сформулировать критерий совместности системы.

Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными — это система уравнений вида

 

Вот--à

Здесь — неизвестные. Коэффициенты системы и её свободные члены предполагаются известными.

Решение системы уравнений — совокупность чисел , таких что подстановка каждого вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Если имеет только 1 решение то определенная,если больше 1 неопределенаая.

Если все b=0 то –одноровная.

КРИТЕРИИ:имеет больше 1или хотябы 1 решение…

 

 

18. Записать систему в матричном виде. Изложить сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

 

Метод обратной матрицы: Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A^-1AX=A^-1b, EX=A^-1b, (E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A^-1b.

 

19. Сформулировать теорему Крамера. Записать формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Крамер: det не равен 0,система имеет 1 решение.

xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Метод обратной матрицы

 

 

20. Изложить алгоритм метода Гаусса, раскрыть его сущность и виды решений в зависимости от полученной ступенчатой матрицы. Сформулировать критерий Кронекера-Капелли. Определить понятие базисных и свободных неизвестных, общего и частного решения для систем с бесконечным множеством решений.

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

1) на 1 место ставим а11не равное 0

2) на 2 мессто ставим а22 не равное нулю…и дальше аналогично до конца пока не получим 1 из 3 вариантов.

1)треугольная система – тогда она совместная и определенная, есть 1 ответ

2)1 из ур. Системы имеет выд 000…..В не= 0 занчит система не совместа (не имеет решений)

3)получена система тропециивидной матрицей, из псоледнего ур. Выражаем неизвестную например хк через остальные nk затем подставляем в последние и до верхнего. Такая система имеет бесконечно решений, переменые в ней деляться на базисные и свободные. Свободыне принимают любое занччение а базисные выр через свободные, за базисные берут те которые состовялют не нулевой минор.

Кронер-капелли: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

 

21. Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства.

Вектором называеться направленый отрезок имеющий точки начала и конца

Характерезуется длиной и направлением

Операции:1) сложение сумой 2 векторов а и б называют вектор с, соединяюший начало а и конец б (свойства как с обычнми числами)

2)разность, под разность а и б понимается вектор с такой что выполныеться условие б+с=а, с=а-в

3)умножение вектора на число,вектор А умножить на число b называеться новый вектор С=Аb

(свойства как с обычнми числами)

 

22. Дать понятие базиса на плоскости и в пространстве, сформулировать теоремы о разложении произвольного вектора по базису на плоскости и в пространстве и доказать их. Определить понятия проекции точки и вектора, координат вектора в данном базисе.

:Базисом на плоскости и пространстве называется максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве система векторов

Любой ветор на плоскости может быть разложен единственым образом по 2 любым неколинеальным векторам.

Любой вектор может быть разложен по базису в пространстве, где числа определяются однозначно.

Проэкция вектора, есть геометрическая и алгеброическая..геометрическая концы вектора АВ перпердикулярно опускаються на прямую и образуют проекцию АВ.

Алгеброическа

проекция и ей свейства

23. Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Записать форму для вычисления длины вектора. Определить линейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и записать соответствующие формулы.

Савакупность точки начала и прямоугольного базиса называеться прямоугольной декардавой системой кардинат, прямоугольный базис-базис вектора которого единичны и ортогональны.

Формула: длина = корень квадратный из суммы квадратов его кординат

Операции …

24. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства, вывести формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический смысл скалярного произведения.

Скалярное произведение 2 не нулевых векторов называеться число, равное произведению их длин на cos угла между ними. A*b=|a||b|cos(a угл b)

СВОЙСТВА:

 

 

Смысл-скалярное произведение векторов определяет работу постороней силы F при прямолинейном перемешении её точки приложения на растояние S.

25. Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

Векторным произведением вектора А на неконалиальный с ним В называеться вектор С

,который строиться след образом, его модуль числено равен плошади паралелограма построеного на перемножаемых векторах.2) вектор С | каждому из перемножаемых векторов.3)из 2 возможных направлений положительным считаеться то ппри которой тройка векторов А,В,С правая.4) векторное произведени коллинеарных векторов считаетьяс = нулую.

СВОЙСТВА:

 

26. Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

27. Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.функций.

28. Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.

29. Определить способы задания прямой на плоскости и вывести различные виды уравнений прямой на плоскости в зависимости от способа задания..

30. Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между двумя прямыми и.расстояния от точки до прямой.

31. Дать определение окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения, изложить геометрические свойства.

Окружность – это множество точек плоскости, равноудалённых от центра.

(х-х₀)²+(у-у₀)²=R² (нормальное уравнение)

С(0;0)→х²+у²=R² (каноническое уравнение)

Окружность является частным случаем эллипса.

Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

 

32. Дать определение эллипса, его основных параметров, записать его геометрическое, каноническое и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета и определить взаимосвязь осей и фокусного расстояния.

. Эллипс – это множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянна, то есть| F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a.

Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy

Координаты фокусов F₁(-С;0) F₂(С;0) F₁(0;С) F₂(0;-С)

Фокусное расстояние | F₁F₂|=2с

Большая ось |А₁А₂|=2а |В₁В₂|=2в

Малая ось |В₁В₂|=2в |А₁А₂|=2а

Связь а, в, с. а>в: а²-в²=с² в>а: в²- а²=с²

Уравнение x2/y2+y2/b2=1 (каноническое уравнение)

Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси.

 

33. Дать определение гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.

Гипербола -множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек той же плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Уравнение гиперболы x2/a2-y2/b2=1-----y2/b2-x2/a2=1

Положение фокусов F1F2eOx F1F2eOy

Координаты фокусов F₁(-С;0) F₂(С;0) F₁(0;С) F₂(0;-С)

Фокусное расстояние F₁F₂|=2с

Действительная ось |А₁А₂|=2а |В₁В₂|=2в

Мнимая ось |В₁В₂|=2в |А₁А₂|=2а

Связь а, в, с а²+в²=с

Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b

Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0

y=E>1/+-b/a*корень x*x-a*a -- алгебраическое получение гиперболы.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближаются точки на гиперболе по мере удаления элемента от начала координат.

 

34. Дать определение равносторонней гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое, канонические и алгебраическое уравнения, изложить геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета, уравнения асимптот и определить взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния.

Равносторонней называется гипербола у которой а=в, её уравнение х2- у2=а2.
Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси.
Асимптотами гиперболы называют прямые к которым неограниченно приближены точки на гиперболе по мере удаления аргумента от начала координат
Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0
Уравнение гиперболы х2/а2-у2/в2=1 у2/в2-х2/а2=1
у=(Е>1)/(±в/а √(х*х-а*а)) -- алгебраическое получение гиперболы.
Фокусное расстояние | F1F2|=2с
Связь а, в, с а2+в2=с

 

35. Дать определение параболы, записать ее геометрическое и различные виды канонических уравнений, изложить геометрические свойства. Записать различные координаты фокуса и уравнения директрисы параболы в зависимости от расположения параболы в системе координат.

Параболой называется множество точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным (р, р>0) параметром параболы.

|MF|=|MN| -- геометрическое уравнение параболы.

Каноническое y² = 2px или x² = 2py

Квадратное уравнение y = ax ² + bx + c также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и y = ax ², но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам: xa=-b/2a. ya=4ac-b2/4a

Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.

Пучок лучей параллельных оси, отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы y ² = x фокус находится в точке (0,25; 0).

Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.

Парабола является антиподерой прямой.

Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

 

36. Изложить способы задания плоскости в пространстве и вывести различные виды уравнений плоскости в зависимости от способа ее задания..

Плоскость в пространстве может быть задана:

1) точкой и вектором перпендикулярным плоскости

2) тремя точками

3) отрезками, отсекаемыми плоскостями на осях координат

4) точкой и двумя неколлинеарными векторами параллельными плоскости

Виды уравнений плоскости в пространстве:

-1-)

-2-) A(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0 -- уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

-3-) Aх+ Ву+ Сz+D=0 -- общее уравнение плоскости

 

 

37. Разъяснить критерии определения взаимного расположения плоскостей в пространстве, записать условия их параллельности и перпендикулярности. Записать формулу для определения угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве:

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются, либо перпендикулярны.

Условие параллельности:

р₁//р₂ ó n1(вектор)↑↓n2(вектор)ó A1/A2=B1/B2=C1/C2

Условие совпадения:

р₁=р₂ ó A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 …. A1/A2 не равно B1/B2(В1/B2 не равно C1/C2)ó пересекаются

Условие перпендикулярности:

р1┴р2 тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные вектора

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0

косинус острого угла между плоскостями.

Пусть плоскость П,задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка M_o(X_o;Y_o; Z_o). Тогда расстояние p от точки M_o до плоскости П определяется по формуле

 

38. Изложить способы задания прямой в пространстве и вывести различные виды уравнений прямой в пространстве в зависимости от способа ее задания.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) точкой и направляющим вектором

2) двумя точками

3)пересечением двух плоскостей

Уравнения:

; t∊R -- векторное уравнение прямой

x-x0/a1=y-y0/a2=z-z0/a3 -- каноническое уравнение прямой

x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1-- уравнение прямой по двум точкам

 

39. Разъяснить критерии взаимного расположения прямых в пространстве и записать различные условия их взаимного расположения.