Метод экспоненциального сглаживания

Данный метод позволяет получить оценку тренда, характеризующего не средний уровень анализируемого процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод применим при кратко- и среднесрочном планировании и не требует значительной информационной базы.

Каждое сглаженное значение временного ряда определяется сочетанием предыдущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. Текущее значение временного ряда взвешивается с учетом сглаживающей константы (коэффициент сглаживания).

Расчет осуществляется по формуле

y_i_сгл= y_i w + (1-w)y₍_i_-1)_сгл, (3)

где w– коэффициент сглаживания.

При использовании данного метода возникает задача выбора значения коэффициента сглаживания. Чем это значение меньше, тем меньше сглаженное значение чувствительно к изменениям тренда временного ряда и результирующие значения получаются более сглаженными. При увеличении значения коэффициента сглаживания получаемый тренд более сильно зависит от значений фактических данных.

В условиях данной практической работы коэффициент сглаживания принимается равным 0,25.

Главной проблемой при выделении тренда является проблема выбора оптимального вида функции, описывающей временной ряд. Такой выбор можно осуществить несколькими способами:

- визуально, сопоставляя вид кривой и качественную характеристику тенденции рассматриваемого экономического явления (процесса);

- на основе использования метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным формы зависимости (4) так, чтобы разница между исходными (y_i) и расчетными (y_нк) данными, образующими линию тренда, была минимальной (рис.1), т.е.

. (4)

Соответственно рассчитываются параметры тренда, минимизирующие отклонения расчетных значений от фактических.

Тренд может быть выражен любой функцией, например:

- линейной, вида y = a + bt;

- гиперболической, вида y = a + b/t;

- параболической, вида y = a + bt + ct².

Рис. 1 Метод наименьших квадратов

В данной работе вид тренда принимается линейным. Для определения коэффициентов (a, b) линейного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

_{12 12}

12а+bSt_i=Sy_i,

^{1 1}

_{12 12 12}

аSt_i +bSt²=Sy_it_i.

^{1 1 1}

Для получения прогноза на следующий временной интервал следует подставить в полученное уравнение тренда соответствующее значение t.

Пример

Исходные данные представлены в табл. 1. Расчеты по вышеприведенным формулам представлены в табл. 2 и 3.

Таблица 1 – Выпуск продукции в 2009 году

Месяц	Выпуск y_i, шт.
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Таблица 2 – Расчет значений

Месяц	y_i_сгл(3), формула (1)	y_i_сгл(5), формула (2)	y_iw	(1-w) y₍_i_-1)сгл	y_i_сгл, формула (3)
					597874,00
	630622,67		155556,25	448405,50	603961,75
	689621,00	706875,80	167942,25	452971,31	620913,56
	771426,67	767044,80	193717,25	465685,17	659402,42
	847076,67	824392,00	216910,50	494551,82	711462,32
	891774,00	877479,20	224679,75	533596,74	758276,49
	914961,67	907712,00	227240,25	568707,37	795947,62
	924066,33	910249,40	234301,25	596960,71	831261,96
	914522,33	894673,20	231508,25	623446,47	854954,72
	875733,33	863070,40	220082,25	641216,04	861298,29
	817371,33		205209,50	645973,72	851183,22
			187736,75	638387,41	826124,16

Рис. 2 Результаты сглаживания методом скользящей средней (построение выполнено в программе MS Excel)

Рис. 3 Результаты сглаживания, полученные методом экспоненциального сглаживания (построение выполнено в программе MS Excel)

Таблица 3 – Вычисление тренда методом наименьших квадратов

Месяцы, t	y_i	t²	y_it_i	y_i₍_наим_._кв_.)*
				691207,49
				711857,81
				732508,13
				753158,45
				773808,77
				794459,09
				815109,41
				835759,73
				856410,05
				877060,37
				897710,69
				918361,01
∑ 78

*В результате решения системы уравнений были получены следующие результаты:

a=670557,17,

b=20650,32,

y _i(_наим_._кв_.)=670557,17+20650,32t.

Прогноз на январь 2010 г. (t=13)

y₁₃₍_наим_._кв_.)=670557,17+20650,32*13 = 939011,33 (шт.).

Рис. 4 Получение тренда методом наименьших квадратов (построение выполнено в программе MS Excel)

C помощью программы MS Excel необходимо построить нелинейные виды трендов: логарифмический, полиномиальный второй степени, степенной, экспоненциальный. Для этого для каждого из трендов необходимо выполнить следующие действия:

- построить диаграмму с исходными данными о выпуске продукции за год;

- щелкнуть правой клавишей мыши по анализируемому временному ряду;

- в открывшемся окне выбрать строку «Добавить линию тренда»;

- в открывшемся окне отметить соответствующий вид линии тренда;

- на вкладке «Параметры» поставить галочку напротив строки «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2».

Рис. 5 Логарифмический тренд, построенный в MS Excel

Рис. 6 Степенной тренд, построенный в MS Excel

Рис. 7 Экспоненциальный тренд, построенный в MS Excel

Рис. 8 Полиномиальный тренд, построенный в MS Excel

Индивидуальное задание по теме 1:

- сгладить временной ряд методом скользящей средней и методом экспоненциального сглаживания, построить соответствующие графики;

- выделить линейный тренд методом наименьших квадратов, построить график;

- построить в MS Excel нелинейные тренды с указанием степени аппроксимации.

Таблица 4 – Варианты заданий

Месяц	Варианты

Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Продолжение табл.4.

Месяц	Варианты

Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Продолжение табл.4.

Месяц	Варианты

Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь